经济汇编 乐律典 第六十三卷 钦定古今图书集成
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    钦定古今图书集成经济汇编乐律典

     第六十四卷目录

     律吕部汇考十八

      明朱载堉律吕精义四新旧法参校 新旧律试验

    乐律典第六十四卷

    律吕部汇考十八

    明朱载堉律吕精义四

    新旧法参校第六

    古人算律有四种法:其一,以黄钟为十寸,每寸十分, 共计百分;其二,以黄钟为九寸,每寸十分,共计九十 分;其三,以黄钟为八寸一分,不作九寸;其四,以黄钟 为九寸,每寸九分,共计八十一分。

    其一出《太史公律》,书生钟分。

    谨按:生钟分者,三分损益之旧法也。一切算术,皆取法于《河图》《雒书》。《河图》十位,天地之体数也。《雒书》九位,天地之用数也。是故算律之术,或有约十而为九者,著其用也。或有约九而为十者,存其体也。下文约十为九,此章约九为十,先儒盖未达,误以九解之,恐非古人立法初意。若以十解之,尤简易妙绝。

    “子。”一分

    子即黄钟也。一分者,总为一段也,即是夏尺之一尺也。命黄钟为一尺,故曰一分。《前汉书叙传》曰:“元元本,本数始于一,产气黄钟,造计秒忽。” 《律历志》曰:“太极元气,函三为一,行于十二辰,始动于子。” 又曰:“算法用竹,径一分,象黄钟之一。” 此皆古人命黄钟为一尺之明证也。

    丑三,分二。

    丑指林钟,其长乃一尺中三分之二。算法置一尺为实,以二乘之,以三除之,得林钟正律长六寸六分六釐六毫六丝六忽六微六纎。

    寅九分《八》。

    寅即太蔟,其长乃一尺中九分之八。《算法》:置一尺为实,以八乘之,以九除之,得太蔟正律长八寸八分八釐八毫八丝八忽八微八纎。下文放此,故不细解。

    卯二十七分一十六。

    卯指南吕,依法乘除,得南吕正律,长五寸九分二釐五毫九丝二忽五微九纎。

    辰八十一分六十四。

    辰即姑洗。依法乘除,得姑洗正律长七寸九分○一毫二丝三忽四微五纎。

    巳,二百四十三分。一百二十八。

    巳指应钟,依法乘除,得应钟正律,长五寸二分六釐七毫四丝八忽九微七纎。

    午七百二十九分五百一十二。

    午即“蕤宾。” 依法乘除,得蕤宾正律,长七寸○二釐三毫三丝一忽九微六纎。

    未:二千一百八十七分一千○二十四。

    未指大吕,依法乘除,得大吕半律,长四寸六分八釐二毫二丝一忽三微○。求正律,则倍之。

    申,六千五百六十一分四千○九十六。

    申即《夷则》。依法乘除,得《夷则》正律长六寸二分四釐二毫九丝五忽○七纎。

    酉,一万九千六百八十三分八千一百九十二。

    酉指、夹钟,依法乘除,“得夹钟半律,长四寸一分六釐一毫九丝六忽七微一纎。” 求正律则倍之。

    戌,五万九千○四十九分三万二千七百六十八。

    戌即无射。依法乘除,得无射正律,长五寸五分四釐九毫二丝八忽九微五纎。

    亥,一十七万七千一百四十七分六万五千五百三 十六。

    亥指仲吕,依法乘除,得仲吕半律,长三寸六分九釐九毫五丝二忽六微三纎。求正律则倍之。阳律即本位,故曰“即某” ;阴吕指其冲,故曰“指某。” 未、酉、亥。三位所得加一倍,是皆旧说,而学者须知也。臣按:此法历代律家盖多错解,先臣何瑭始发明之,古人四法中,宜以此为首,元元本,本数始于一故也。

    其一,上文已见,兹不复载,但载乘除所得之数,谓之 “旧法”,与《新法》并载之,参校同异云尔。

    旧法:黄钟长十寸。

    整一百分

    《林钟》长六寸六分六釐六毫,有奇

    太簇,长八寸八分八釐八毫。有奇

    南吕长五寸九分二釐五毫。有奇姑洗长《七寸九分○一毫》,有奇

    应钟长五寸二分六釐七毫。有奇

    《蕤宾》长七寸○二釐三毫,有奇

    大吕,长九寸三分六釐四毫。有奇

    《夷则》长六寸二分四釐二毫,有奇

    夹钟长八寸三分二釐三毫,有奇

    无射,长五寸五分四釐九毫。有奇

    仲吕长七寸三分九釐九毫。有奇

    新法黄钟长十寸。

    整一百分

    《林钟》长六寸六分七釐四毫,有奇

    太蔟,长八寸九分○八毫,有奇

    南吕长五寸九分四釐六毫。有奇

    姑洗长七寸九分三釐七毫,有奇

    应钟长五寸二分九釐七毫。有奇

    《蕤宾》长七寸○七釐一毫,有奇

    大吕,长九寸四分三釐八毫。有奇

    《夷则》长六寸二分九釐九毫,有奇

    夹钟长八寸四分○八毫,有奇

    无射,长五寸六分一厘二毫。有奇

    仲吕长七寸四分九釐一毫,有奇

    其二出京房《律准》及《后汉志》。

    旧法:黄钟长九寸。

    每寸十分馀律放此

    林钟长六寸,

    “太蔟”长八寸,

    南吕长五寸三分,小分三强。

    姑洗长七寸一分小分一微强。

    应钟长四寸七分小分,四微强。

    《蕤宾》长六寸三分小分二微强。

    大吕,长八寸四分,小分三弱。

    《夷则》长五寸六分,小分二弱。

    《夹钟》长七寸四分小分,九微强。

    无射,长四寸九分,小分九强。

    仲吕长六寸六分,小分六弱。

    新法黄钟长九寸。

    每寸十分整九十分

    林钟长六寸○○六毫,有奇

    太蔟长八寸○一厘八毫。有奇

    南吕长五寸三分五釐一毫。有奇

    姑洗长七寸一分四釐三毫,有奇

    应钟长四寸七分六釐七毫;有奇

    《蕤宾》长六寸三分六釐三毫,有奇

    大吕,长八寸四分九釐四毫。有奇

    《夷则》长五寸六分六釐九毫,有奇

    夹钟长七寸五分六釐八毫,有奇

    无射长五寸○五釐一毫。有奇

    仲吕长六寸七分四釐二毫,有奇

    其三出《淮南子》及《晋书》《宋书》。

    旧法黄钟之数八十一。

    或云“八寸《十分一》。”

    林钟之数五十四,

    或云五寸十分四

    太蔟之数七十二。

    或云“七寸,十分二。”

    南吕之数四十八。

    或云四寸十分八

    姑洗之数六十四,

    或云六寸十分四

    应钟之数四十三,

    《晋书》作“二” ,误。

    《宋书》作“三” ,是。

    蕤宾之数五十七。

    《晋》《宋》皆作“七。”

    蔡氏作六误

    大吕之数七十六。

    《夷则》之数五十一,

    晋书有一字

    宋书脱一字

    夹钟之数六十八,

    《晋书》作“八” ,是。

    《宋书》作“七” ,误。

    无射之数四十五。

    仲吕之数六十。

    新法黄钟之数,八寸一分。

    整八十一分

    林钟之数,五寸四分○六毫。有奇

    太蔟之数,七寸二分一厘六毫。有奇

    南吕之数,四寸八分一厘六毫。有奇

    《姑洗》之数,六寸四分二釐八毫。有奇

    应钟之数,四寸二分九釐○。有奇《蕤宾》之数五寸七分二釐七毫。有奇

    大吕之数,七寸六分四釐五毫。有奇

    《夷则》之数,五寸一分○二毫。有奇

    夹钟之数,六寸八分一厘一毫。有奇

    无射之数,四寸五分四釐五毫。有奇

    仲吕之数,六寸○六釐八毫。有奇

    前十二律皆古人旧率,所谓“三分损益” 者也。后十二律则新造密率,不用三分损益者也。凡算法归除,有不尽之数,然人目力所察,至毫而止,丝忽虽有数,非目所及也。是故此条得毫而止,毫下细数,但曰“有奇” ,其详则载诸第一卷中矣。

    论曰:累黍造尺,不过三法,皆自古有之矣。曰横黍者, 一黍之广为一分也;曰緃黍者,一黍之长为一分也; 曰斜黍者,非纵非横,而首尾相衔也。黄钟之律,其长 以横黍言之,则为一百分,太史公所谓子一分是也; 以纵黍言之,则为八十一分,《淮南子》所谓“其数八十 一”是也;以斜黍言之,则为九十分,《前后汉志》所谓九 寸是也。今人宗九寸不宗馀法者,惑于《汉志》之偏见 也。苟能变通而不惑于一偏,则纵横、斜黍,皆合黄钟 矣。

    三、黍四律《古今同异考》

    古法下生者三分减一,三分减一则为二也,故用二因三归。上生者三分添一,三分添一则为四也,故用“四因《三归》。”

    别法:下生者,五十乘之,七十五除之;上生者,一百乘之,七十五除之。所得与古同,而《算术》不同。

    横黍,《百分律》依旧法算。

    黄钟长十寸,

    旧法:置黄钟为实,下生者二因三归,得林钟。别法以五十乘之,七十五除之,亦得林钟。

    林钟长六寸六分六釐六毫六丝六忽六微六纎有 奇。

    旧法:置林钟为实,上生者四因三归,得太蔟。别法以一百乘之,七十五除之,亦得太蔟。

    太蔟,长八寸八分八釐八毫八丝八忽八微八纎有 奇。

    旧法:置太蔟为实,下生者,二因三归,得南吕。别法以五十乘之,七十五除之,亦得南吕。

    南吕长五寸九分二釐五毫九丝二忽五微九纎有 奇。

    旧法:置南吕为实,上生者四因《三归》,得姑洗。别法以一百乘之,七十五除之,亦得姑洗。

    姑洗长七寸九分○一毫二丝三忽四微五纎有奇。

    旧法:置姑洗为实,下生者二因三归,得应锺。《别法》以五十乘之,七十五除之,亦得应钟。

    应钟,长五寸二分六釐七毫四丝八忽九微七纎有 奇。

    旧法:置应钟为实。上生者四因三归,得蕤宾。别法以一百乘之,七十五除之,亦得蕤宾。

    《蕤宾》长七寸○二釐三毫三丝一忽九微六纎有奇。

    旧法:置蕤宾为实,上生者四因三归,得大吕。别法以一百乘之,七十五除之,亦得大吕。

    大吕长九寸三分六釐四毫四丝二忽六微一纎有 奇。

    旧法:置大吕为实,下生者二因三归,得夷则。别法以五十乘之,七十五除之,亦得《夷则》。

    《夷则》长六寸二分四釐二毫九丝五忽○七纎有奇。

    旧法:置《夷则》为实。上生者四因《三归》,得夹钟。别法以一百乘之,七十五除之,亦得夹钟。

    夹钟长八寸三分二釐三毫九丝三忽四微三纎有 奇。

    旧法:置夹钟为实,下生者二因三归,得无射。别法以五十乘之,七十五除之,亦得无射。

    无射长五寸五分四釐九毫二丝八忽九微五纎有 奇。

    旧法:置无射为实。上生者,四因三归,得仲吕。《别法》以一百乘之,七十五除之,亦得仲吕。

    仲吕长七寸三分九釐九毫○五忽二微七纎有奇。

    旧法:置仲吕为实,上生者四,因三归,得黄钟。别法以一百乘之,七十五除之,亦得黄钟。

    黄钟长九寸八分六釐五毫四丝○三微六纎有奇。

    比黄钟正律少一分三釐四毫五丝九忽六微三纎有奇。

    斜黍九十分,律依旧法算。

    黄钟长九寸,

    旧法:置黄钟为实,下生者二因三归,得林钟。别法以五十乘之,七十五除之,亦得林钟。

    林钟长六寸,

    旧法:置林钟为实,上生者四因三归,得太蔟。别法以一百乘之,七十五除之,亦得太蔟。

    “太蔟”长八寸

    旧法:置太蔟为实,下生者,二因三归,得南吕。别法以五十乘之,七十五除之,亦得南吕。

    南吕长五寸三分三釐三毫三丝三忽三微三纎有 奇。

    旧法:置南吕为实,上生者四因《三归》,得姑洗。别法以一百乘之,七十五除之,亦得姑洗。

    姑洗长七寸一分一厘一毫一丝一忽一微一纎有 奇。

    旧法:置姑洗为实,下生者二因三归,得应钟。别法以五十乘之,七十五除之,亦得应钟。

    应钟长四寸七分四釐○七丝四忽○七纎有奇。

    旧法:置应钟为实。上生者四因三归,得蕤宾。别法以一百乘之,七十五除之,亦得蕤宾。

    《蕤宾》长六寸三分二釐○九丝八忽七微六纎有奇。

    旧法:置蕤宾为实,上生者四因三归,得大吕。别法以一百乘之,七十五除之,亦得大吕。

    大吕,长八寸四分二釐七毫九丝八忽三微五纎有 奇。

    旧法:置大吕为实,下生者二因三归,得夷则。别法以五十乘之,七十五除之,亦得《夷则》。

    《夷则》长五寸六分一厘八毫六丝五忽五微六纎有 奇。

    旧法:置《夷则》为实。上生者四因《三归》,得夹钟。别法以一百乘之,七十五除之,亦得夹钟。

    夹钟长七寸四分九釐一毫五丝四忽○九纎有奇。

    旧法:置夹钟为实,下生者二因三归,得无射。别法以五十乘之,七十五除之,亦得无射。

    无射长四寸九分九釐四毫三丝六忽○六纎有奇。

    旧法:置无射为实。上生者,四因三归,得仲吕。《别法》以一百乘之,七十五除之,亦得仲吕。

    仲吕长六寸六分五釐九毫一丝四忽七微四纎有 奇。

    旧法:置仲吕为实,上生者四,因三归,得黄钟。别法以一百乘之,七十五除之,亦得黄钟。

    黄钟长八寸八分七釐八毫八丝六忽三微三纎有 奇。

    比黄钟正律少一分二釐一毫一丝三忽六微六纎有奇。

    纵黍八十一分,律依旧法算。不作九寸

    此法有二:出《史记》律书者,是“三分损益法” ;出《淮南子》书者,非“三分损益法。” 故律数颇不同。今并载之。

    其一出《史记律书》。

    原文误字,朱熹、蔡元定皆辨之已详,兹不复载,但载乘除所得之数。

    黄钟长八寸一分;

    旧法:置黄钟为实,下生者二因三归,得林钟。别法以五十乘之,七十五除之,亦得林钟。

    林钟长五寸四分。

    旧法:置林钟为实,上生者四因三归,得太蔟。别法以一百乘之,七十五除之,亦得太蔟。

    太蔟长七寸二分;

    旧法:置太蔟为实,下生者,二因三归,得南吕。别法以五十乘之,七十五除之,亦得南吕。

    南吕长四寸八分,

    旧法:置南吕为实,上生者四因《三归》,得姑洗。别法以一百乘之,七十五除之,亦得姑洗。

    姑洗长《六寸四分》;

    旧法:置姑洗为实,下生者二因三归,得应钟。别法以五十乘之,七十五除之,亦得应钟。

    应钟,长四寸二分六釐六毫六丝六忽六微六纎有 奇。

    旧法:置应钟为实。上生者四因三归,得蕤宾。别法以一百乘之,七十五除之,亦得蕤宾。

    《蕤宾》长五寸六分八釐八亳八丝八忽八微八纎有 奇。

    旧法:置蕤宾为实,上生者四因三归,得大吕。别法以一百乘之,七十五除之,亦得大吕。

    大吕长七寸五分八釐五毫一丝八忽五微一纎有 奇。

    旧法:置大吕为实,下生者二因三归,得夷则。别法以五十乘之,七十五除之,亦得《夷则》。

    《夷则》长五寸○五釐六毫七丝九忽○一纎有奇。

    旧法:置《夷则》为实。上生者四因《三归》,得夹钟。别法以一百乘之,七十五除之,亦得夹钟。

    夹钟,长六寸七分四釐二毫三丝八忽六微八纎有 奇。

    旧法:置夹钟为实,下生者二因三归,得无射。别法以五十乘之,七十五除之,亦得无射。

    无射长四寸四分九釐四毫九丝二忽四微五纎有 奇。

    旧法:置《无射》为实,上生者四因《三归》,得仲吕。

    别法:以一百乘之,七十五除之,亦得仲吕。

    仲吕长五寸九分九釐三毫二丝三忽二微七纎有 奇。

    旧法:置仲吕为实,上生者四,因三归,得黄钟。别法以一百乘之,七十五除之,亦得黄钟。

    黄钟长七寸九分九釐○九丝七忽六微九纎有奇。

    比黄钟正律少一分○九毫○二忽三微○有奇。

    其二。出《淮南子书》。

    晋宋二志及蔡元定所引互有误字,上文已辨,兹不载。

    “黄钟位子”,其数八十一,主十一月,下生林钟。

    旧法:置八十一分为实。下生者以五百乘之,得四万○五百分,以七百四十九为法,除之,得五十四分,为《林钟》。馀数在半分以下,弃之不用。

    “林钟”之数五十四,主六月,上生太蔟。

    旧法:置五十四分为实。上生者以一千乘之,得五万四千分,以七百四十九为法,除之,得七十二分,为太蔟。馀数在半分已下,弃之不用。

    太蔟之数七十二,主正月下生南吕。

    旧法:置七十二分为实。下生者以五百乘之,得三万六千分,以七百四十九为法,除之,得四十八分,为南吕。馀数在半分已下,弃之不用。

    南吕之数四十八,主八月上生姑洗。

    旧法:置四十八分为实。上生者以一千乘之,得四万八千分,以七百四十九为法,除之,得六十四分,为姑洗。馀数在半分已下,弃之不用。

    “姑洗”之数六十四,主三月下生应钟。

    旧法:置六十四分为实。下生者以五百乘之,得三万二千分,以七百四十九为法除之,得四十二分。馀数在半分已上,收之,作四十三分,为应钟。

    应钟之数四十三,主十月,上生蕤宾。

    旧法:置四十三分为实。上生者以一千乘之,得四万三千分,以七百四十九为法除之,得五十七分,为蕤宾。馀数在半分已下,弃之不用。

    蕤宾之数五十七,主五月,上生大吕。

    旧法:置五十七分为实。上生者以一千乘之,得五万七千分。以七百四十九为法,除之,得七十六分,为大吕。馀数在半分已下,弃之不用。

    大吕之数七十六,主十二月,下生《夷则》。

    旧法:置七十六分为实。下生者以五百乘之,得三万八千分,以七百四十九为法,除之,得五十分。馀数在半分已上,收之,作五十一分,为《夷则》。

    《夷则》之数五十一,主七月,上生夹钟。

    旧法:置五十一分为实。上生者以一千乘之,得五万一千分,以七百四十九为法,除之,得六十八分,为夹钟。馀数在半分已下,弃之不用。

    夹钟之数六十八,主二月,下生无射。

    旧法:置六十八分为实。下生者以五百乘之,得三万四千分,以七百四十九为法,除之,得四十五分,为无射。馀数在半分已下,弃之不用。

    无射之数四十五,主九月,上生仲吕。

    旧法:置四十五分为实。上生者以一千乘之,得四万五千分,以七百四十九为法,除之,得六十分,为仲吕。馀数在半分已下,弃之不用。

    仲吕之数六十,主四月极不生。

    旧法以为“极不生” 者,言不复上生黄钟也。

    论曰:“三分损益,往而不返。其弊盖由七五为法,法太 过而实不及也。《史记》《汉书》所载,律皆三分损益,惟《淮 南子》及晋宋书所载,此法独非三分损益,盖与新法 颇同。其所不同者,仲吕不复生黄钟耳。”是知新法非 自古所未有,疑古有之,失其传也。若夫半已上收之, 半已下弃之,此理律历家所共晓,故不论焉。

    其四出《后汉志》注。引《礼运古注》。

    《后汉志》注引《礼运古注》曰:“宫数八十一,黄钟长九寸,九九八十一也。三分宫去一生征,征数五十四,林钟长六寸,六九五十四也。三分征益一生商,商数七十二,太蔟长八寸,八九七十二也。三分商去一生羽,羽数四十八,南吕长五寸三分寸之一,五九四十五,又三分寸之一,为四十八也。三分羽益一生角,角数六” 十四,姑洗长七寸九分寸之一,七九六十三,又九分寸之一,为六十四也。三分角去一生变宫,三分变宫益一生变征。自此已后,则随月而变,所谓“还相为宫。”

    臣按:右一节乃“九分为寸” 之旧法也,语简意精,为律学之切要。然今本《十三经礼记注疏》中无此文,不可考也,朱熹、蔡元定皆宗“九分为寸” 之法,而不引此为证,盖未之详考耳。

    纵黍八十一分,律依旧法算。命作九寸

    此法有二:出《周礼注疏》者,系汉郑氏“算法。” 出《性理大全》者,系宋蔡氏算法。二家律实同,而算法不同。

    其一出《周礼注疏
    考证

    郑康成宗刘歆、班固之说,以六阳律配《干》六爻,以六阴吕配《坤》六爻,故谓黄钟为初九,林钟为初六,太蔟为九二,南吕为六二之类。“同位象夫妻” ,指初九之与初六也。“异位象母子” ,指初六之与九二也。此系穿凿,今皆不取,祇取其算法云。

    黄钟长九寸,每寸九分馀律仿此

    旧法:置黄钟长九寸为实。下生者二因,得十八寸,《三归》得六寸,为林钟。

    林钟长六寸,

    旧法:置林钟,长六寸为实,上生者四,因得二十四寸,《三归》得八寸,为太蔟。

    “太蔟”长八寸,

    旧法:置太蔟,长八寸为实。下生者二因,得十六寸,三归得五寸而馀一。命作三分寸之一,为南吕。

    南吕长五寸三分寸之一,

    旧法:置南吕,长五寸,以分母三通之得十五寸。纳分子之一,共得十六寸。上生者四因得六十四寸为实。三因分母三,得九为法。除之得七寸而馀一,命作九分寸之一,为姑洗。

    姑洗长七寸九分寸之一,

    旧法:置姑洗长七寸,以分母九,通之得六十三寸。纳分子之一,共得六十四寸。下生者二因,得一百二十八寸为实。三因分母九,得二十七为法。除之得四寸而馀二十,命作二十七分寸之二十,为应钟。

    应钟长四寸二十七分寸之二十,

    旧法:置应钟长四寸,以分母二十七通之,得一百○八寸,纳分子之二十,共得一百二十八寸。上生者四因,得五百一十二寸为实。三因分母二十七,得八十一为法。除之得六寸而馀二十六,命作八十一分寸之二十六,为蕤宾。

    《蕤宾》长六寸、八十一分寸之二十六,

    旧法:置蕤宾长六寸,以分母八十一通之,得四百八十六寸,纳分子之二十六,共得五百一十二寸。上生者四因,得二千○四十八寸为实。三因分母八十一,得二百四十三为法。除之得八寸而馀一百○四,命作二百四十三分寸之一百○四,为大吕。

    大吕长八寸、二百四十三分寸之《一百○四》,

    旧法:置大吕长八寸,以分母二百四十三,通之,得一千九百四十四寸。纳分子之一百○四,共得二千○四十八寸。下生者二因,得四千○九十六寸为实。三因分母二百四十三,得七百二十九为法。除之得五寸而馀四百五十一,命作七百二十九分寸之四百五十一,为《夷则》。

    《夷则》长五寸七百二十九分寸之四百五十一,

    旧法:置《夷则》长五寸,以分母七百二十九通之,得三千六百四十五寸,纳分子之四百五十一,共得四千○九十六寸。上生者四因得一万六千三百八十四寸为实。三因分母七百二十九,得二千一百八十七为法。除之得七寸而馀一千○七十五,命作二千一百八十七分寸之一千○七十五,为夹钟。

    夹钟长七寸二千一百八十七分寸之一千○七十 五。

    旧法:置夹钟长七寸,以分母二千一百八十七,通之得一万五千三百○九寸,纳分子之一千○七十五,共得一万六千三百八十四寸。下生者,二因得三万二千七百六十八寸为实。三因分母二千一百八十七,得六千五百六十一为法。除之得四寸,而馀六千五百二十四,命作六千五百六十一分寸之六千五百二十四,为“无射。”

    无射长四寸六千五百六十一分寸之六千五百二 十四。

    旧法:置无射长四寸,以分母六千五百六十一,通之得二万六千二百四十四寸,纳分子之六千五百二十四,共得三万二千七百六十八寸。上生者,四因得十三万一千○七十二寸为实。三因分母六千五百六十一,得一万九千六百八十三为法。除之得六寸,而馀一万二千九百七十四,命作一万九千六百八十三分寸之一万二千九百七十四,为仲吕。

    仲吕长六寸一万九千六百八十三分寸之一万二 千九百七十四。

    旧法置仲吕长六寸,以分母一万九千六百八十三,通之得十一万八千○九十八寸,纳分子之一万二千九百七十四,共得十三万一千○七十二寸。上生者,四因得五十二万四千二百八十八寸为实。三因分母一万九千六百八十三,得五万九千○四十九寸为法。除之得八寸,而馀五万一千八百九十六,命作五万九千○四十九分寸之五。

    万一千八百九十六,为“黄钟。”

    黄钟长八寸五万九千○四十九分寸之五万一千 八百九十六。

    比《黄钟》正律少五万九千○四十九分寸之七千一百五十三。

    已上诸律,出于《周礼注疏》,汉郑康成之算术也。

    其二。出《性理大全》。

    古法与蔡元定《算法》不同,是故名为“别法。” 法虽不同,而算出之数则同焉,今并列之,以便参考。

    黄钟长九寸,

    旧法:置黄钟之率,十七万七千一百四十七为实。以寸法一万九千六百八十三除之,得九寸。别法:置黄钟长一尺为实,九因一遍,退位,命作九寸。

    林钟长六寸,

    旧法:置《林钟》之率,十一万八千○九十八为实。以寸法一万九千六百八十三除之,得六寸。

    别法:置林钟,长六寸六分六釐六毫六丝六忽六微六纤为实,九因,一遍命作六寸。

    “太蔟”长八寸,

    旧法:置太蔟之率十五万七千四百六十四为实。以寸法一万九千六百八十三除之,得八寸。别法:置太蔟长八寸八分八釐八毫八丝八忽八微八纎为实,九因一遍,命作八寸。

    南吕长五寸三分。

    旧法置南吕之率,十万○四千九百七十六为实。以寸法一万九千六百八十三除之得五寸;馀六千五百六十一为实,以分法二千一百八十七除之,得三分,共得五寸三分。

    别法:置南吕,长五寸九分二釐五毫九丝二忽五微九纤为实。九因一遍至寸位住,得五寸。又九因一遍至分位住,得三分,共得五寸三分。

    姑洗长《七寸一分》。

    旧法置姑洗之率,十三万九千九百六十八为实。以寸法一万九千六百八十三除之,得七寸,馀二千一百八十七为实。以分法二千一百八十七除之,得一分,共得七寸一分。

    别法置姑洗,长七寸九分○一毫二丝三忽四微五纎为实。九因一遍至寸位住,得七寸。又九因一遍至分位住,得一分,共得七寸一分。

    应钟长四寸六分六釐。

    旧法:置应钟之率,九万三千三百一十二为实。以寸法一万九千六百八十三除之得四寸,馀一万四千五百八十为实。以分法二千一百八十七除之得六分,馀一千四百五十八为实。以釐法二百四十三除之,得六釐,共四寸六分六釐。

    别法:置应钟,长五寸二分六釐七毫四丝八忽九微七纤为实。九因一遍至寸位住,得四寸,又九因一遍至分位住,得六分,又九因一遍至釐位住,得六釐。共得四寸六分六釐。

    《蕤宾》长六寸二分八釐;

    旧法:置蕤宾之率,十二万四千四百一十六为实。以寸法一万九千六百八十三除之得六寸,馀六千三百一十八为实。以分法二千一百八十七除之得二分,馀一千九百四十四为实。以釐法二百四十三除之,得八釐,共得六寸二分八釐。

    别法:置《蕤宾》长七寸○二釐三毫三丝一忽九微六纎为实。九因一遍至寸位住,得六寸。又九因一遍至分位住,得二分。又九因一遍至釐位住,得八釐。共得六寸二分八釐。

    大吕,长八寸三分七釐六毫。

    旧法置大吕之率,十六万五千八百八十八为实;以寸法一万九千六百八十三除之得八寸;馀八千四百二十四为实;以分法二千一百八十七除之得三分,馀一千八百六十三为实;以釐法二百四十三除之得七釐;馀一百六十二为实;以毫法二十七除之得六毫,共得八寸三分七釐六毫。别法,置大吕长九寸三分六釐四毫四丝二忽六微一纎,为实。九因一遍至寸位住,得八寸;又九因一遍至分位住,得三分;又九因一遍至釐位住,得七釐;又九因一遍至毫位住,得六毫。共得八寸三分七釐六毫。

    《夷则》长五寸五分五釐一毫,

    旧法置《夷则》之率,十一万○五百九十二为实,以寸法一万九千六百八十三除之得五寸,馀一万二千一百七十七为实,以分法二千一百八十七除之得五分,馀一千二百四十二为实;以釐法二百四十三除之得五釐;馀二十七为实;以毫法二十七除之得一毫,共得五寸五分五釐一亳。别法,置《夷则》,长六寸二分四釐二毫九丝五忽○,七纎为实,九因一遍,至寸位住,得五寸,又九因一。

    遍至分位住,得五分。又九因一遍至釐位住,得五釐。又九因一遍至毫位住,得一毫,共得五寸五分五釐一毫。

    夹钟长七寸四分三釐七毫三丝。

    旧法:置夹钟之率,十四万七千四百五十六为实。以寸法一万九千六百八十三除之得七寸,馀九千六百七十五为实。以分法二千一百八十七除之得四分,馀九百二十七为实。以釐法二百四十三除之得三釐,馀一百九十八为实。以毫法二十七除之得七毫,馀九为实。以丝法三除之得三丝,共得七寸四分三釐七毫三丝。

    别法:置夹钟,长八寸三分二釐三毫九丝三忽四微三纎为实。九因一遍至寸位住,得七寸;又九因一遍至分位住,得四分;又九因一遍至釐位住,得三釐;又九因一遍至毫位住,得七毫;又九因一遍至丝位住,得三丝。共得七寸四分三釐七毫三丝。

    无射,长四寸八分八釐四毫八丝。

    旧法:置无射之率,九万八千三百○四为实。以寸法一万九千六百八十三除之得四寸;馀一万九千五百七十二为实。以分法二千一百八十七除之得八分;馀二千○七十六为实,以釐法二百四十三除之得八釐;馀一百三十二为实。以毫法二十七除之得四毫;馀二十四为实。以丝法三除之得八丝,共得四寸八分八釐四毫八丝。

    别法:置无射长五寸五分四釐九毫二丝八忽九微五纎,为实。九因一遍至寸位住,得四寸;又九因一遍至分位住,得八分;又九因一遍至釐位住,得八釐;又九因一遍至毫位住,得四毫;又九因一遍至丝位住,得八丝。共得四寸八分八釐四毫八丝。

    仲吕长六寸五分八釐三毫四丝六忽。

    旧法置仲吕之率,十三万一千○七十二为实。以寸法一万九千六百八十三除之得六寸,馀一万二千九百七十四为实。以分法二千一百八十七除之得五分;馀二千○三十九为实。以釐法二百四十三除之得八釐;馀九十五为实。以毫法二十七除之得三毫;馀十四为实。以丝法三除之得四丝;馀二不尽,共得六寸五分八釐三毫四丝,馀二不尽。

    别法:置仲吕长七寸三分九釐九毫○五忽二微七纎为实。九因一遍至寸位住,得六寸;又九因一遍至分位住,得五分;又九因一遍至釐位住,得八釐;又九因一遍至毫位住,得三毫;又九因一遍至丝位住,得四丝;又九因一遍至忽位住,得六忽。共得六寸五分八釐三毫四丝六忽。

    已上诸律,出于《性理大全》,宋蔡元定之算法也。

    论曰:“古人算律之妙,二种而已。一以纵黍之长为分, 九分为寸,九寸为黄钟,凡八十一分,取象《雒书》之九, 自相乘之数焉,此《淮南子》之所载也。一以横黍之广 为分,十分为寸,十寸为黄钟,凡一百分,取象《河图》之 十,自相乘之数焉,此太史公之所记也。二术虽异,其 律则同。盖纵黍之八十一分,适当横黍之一百分耳。” 本无九十分为黄钟者也。至于刘歆、班固,乃以九十 分为黄钟,推原其误,盖自京房始也。房时去古未远, 明知古法九分为寸,以其布算颇烦,初学难晓,乃变 九而为十,恐人不晓其意,故云“不盈寸者十之所得 为分。”此创始之辞也。至歆则又以九分乘九十分,得 八百一十分,命为黄钟积,实欲牵合“于黄钟一龠之 数。夫古历法以二十九日九百四十分之四百九十 九为朔馀,算法除之,得五十三刻有奇。《落下闳》以八 十一分之四十三为朔馀,算法除之,亦得五十三刻 有奇。若以八百一十为法除之止得五刻有奇,不满 朔馀之数。是《闳历》以八十一分为法,取象黄钟一龠 之长,非谓积实也。则”黄钟决无长九十分、积八百一 十分之理矣。《淮南子》、太史公落下闳此三人,前汉律 历之学无出其右者,皆谓黄钟九寸即是八十一分, 世儒不信。何也?朱熹、蔡元定始能表章九分为寸之 法,有功律学亦多,但未勘破王莽、刘歆、班固之谬,是 犹有遗憾焉。

    新旧律试验第七

    或问:“新律旧律,其同异易知也。孰真孰伪,斯难知也 答?”曰:“试验则易知耳。试验之法有二:其一累黍造尺, 依尺造律,吹之试验。其二吹笙定琴,用琴定瑟,弹之 试验。所谓依尺造律者,多采金门山竹,择天生合式 者为律,最佳。”

    《金门山》亦名“律管山” ,今属河南府永宁县。地虽产竹,其大竹不堪用,惟用小竹长节者耳。节短而不圆,两端不匀者亦不堪也。甜竹最佳,而长节者尤为难得。选得天生律管,内外周径,自然合式,可珍可贵。然须先有定式,而后知其合否。

    “如无,则择厚竹内外修治,使合式”,亦可也。

    苦竹:俗呼为“观音竹。” 此竹节长而厚,内外皆可修。

    治假如黄钟,外径五分,内径三分五釐,竹之厚者,外径五分强,内径三分五釐弱,则内外皆有馀,斯可以修治也。若外径在五分已下,而内径在三分五釐已上,则内外皆不足,斯不可修治也。馀律仿此。新采湿竹,待极干乃造,湿造则不佳。

    治法外用方错,内用圆错,各依后项开列内外,径而 治之。

    竹匠、木匠,虽有巧者,但器未利,欲就利器,则于骨牙匠、旋匠辈,选巧者易教也。方错,若《马龈错》之类是也,斯可治外圆错。彼或无之,则令创造似箭杆而细小,稍头微大,状若莲子,莲子周围即钢错也,旋转入内,取圆而已。黄钟倍律错头,圆径五分;黄钟半律错头,圆径二分五釐。如是错有三十六等,先小后大,渐次更换。造成以尺量之,令内外径与分寸相合,名为《合式》也。

    “正律黄钟”,长八寸一分;用纵黍尺依新法算 外径四分○五 毫, 内径二分八釐六毫。

    大吕,长七寸六分四釐五毫 三分九釐三毫 二 分七釐八毫。

    太蔟长七寸二分一厘六毫 三分八釐二毫 二 分七釐○。

    夹钟长六寸八分一厘一毫 三分七釐一毫 二 分六釐二毫。

    姑洗长六寸四分二釐八毫 三分六釐○ 二分 五釐五毫。

    仲吕长六寸○六釐八毫 三分五釐○ 二分四 釐七毫。

    《蕤宾》长五寸七分二釐七毫 三分四釐○ 二分 四釐○。

    《林钟》长五寸四分○六毫 三分三釐○ 二分三 釐三毫;

    《夷则》长五寸一分○二毫 三分二釐一毫 二分 二釐七毫。

    南吕长四寸八分一厘六毫 三分一厘二毫 二 分二釐○。

    无射长四寸五分四釐五毫 三分○三毫 二分 一厘四毫。

    应钟,长四寸二分九釐○ 二分九釐四毫 二分 ○八毫。

    半律黄钟,长四寸○五釐 二分八釐六毫 二分 ○二毫。

    大吕,长三寸八分二釐二毫 二分七釐八毫 一 分九釐六毫。

    太蔟长三寸六分○八毫 二分七釐○ 一分九 釐一毫;

    夹钟长三寸四分○五毫 二分六釐二毫 一分 八釐五毫。

    “正律黄钟”,长九寸。用纵黍尺依新法算 四分○四毫 二分 七釐六毫。

    大吕,长八寸四分四釐○ 三分八釐三毫 二分 七釐○。

    太蔟长八寸○一厘四毫 三分七釐三毫 二分 六釐二毫。

    夹钟长七寸五分一厘○ 三分六釐三毫 二分 五釐五毫。

    姑洗长七寸一分二釐五毫 三分五釐四毫 二 分四釐八毫。

    仲吕长六寸六分六釐一毫 三分四釐四毫 二 分四釐二毫。

    《蕤宾》长六寸三分二釐四毫 三分三釐五毫 二 分三釐六毫。

    《林钟》长六寸○○四毫 三分二釐七毫 二分三 釐○;

    《夷则》长五寸六分○二毫 三分一厘八毫 二分 二釐四毫,

    南吕长五寸三分一厘四毫 三分一厘○ 二分 一厘七毫。

    无射长五寸○四釐一毫 三分○二毫 二分一 釐二毫。

    应钟,长四寸六分八釐一毫 二分八釐四毫 二 分○六毫。

    半律黄钟,长四寸四分四釐四毫 二分七釐六毫。

    二分○二毫

    大吕,长四寸二分二釐○ 二分七釐○ 一分八 釐六毫。

    太蔟长四寸○○六毫 二分六釐二毫 一分八 釐一毫;

    夹钟长三寸七分○四毫 二分五釐五毫 一分 七釐六毫。

    “正律黄钟”,长九寸。用斜黍尺依新法算 四分五釐 三分一 釐八毫《大吕》长八寸四分九釐四毫 四分三釐七毫 三 分○九毫。

    太蔟长八寸○一厘八毫 四分二釐四毫 三分 ○○。

    夹钟长七寸五分六釐八毫 四分一厘二毫 二 分九釐一毫。

    姑洗长七寸一分四釐三毫 四分○○ 二分八 釐三毫;

    仲吕长六寸七分四釐二毫 三分八釐九毫 二 分七釐五毫。

    《蕤宾》长六寸三分六釐三毫 三分七釐八毫 二 分六釐七毫。

    《林钟》长六寸○○六毫 三分六釐七毫 二分五 釐九毫。

    《夷则》长五寸六分六釐九毫 三分五釐七毫 二 分五釐二毫,

    南吕长五寸三分五釐一毫 三分四釐六毫 二 分四釐五毫。

    无射长五寸○五釐一毫 三分三釐七毫 二分 三釐八毫。

    应钟长四寸七分六釐七毫 三分二釐七毫 二 分三釐一毫。

    半律黄钟,长四寸五分 三分一厘八毫 二分二 釐五毫。

    大吕,长四寸二分四釐七毫 三分○九毫 二分 一厘八毫。

    太蔟长四寸○○九毫 三分○○ 二分一厘二 毫,

    夹钟长三寸七分八釐四毫 二分九釐一毫 二 分○六毫。

    正律黄钟,长一尺;用夏尺造依新法算 五分 三分五釐三 毫。

    大吕,长九寸四分三釐八毫 四分八釐五毫 三 分四釐三毫。

    太蔟长八寸九分○八毫 四分七釐一毫 三分 三釐三毫。

    夹钟长八寸四分○八毫 四分五釐八毫 三分 二釐四毫。

    姑洗长七寸九分三釐七毫 四分四釐五毫 三 分一厘四毫。

    仲吕长七寸四分九釐一毫 四分三釐二毫 三 分○六毫。

    《蕤宾》长七寸○七釐一毫 四分二釐○ 二分九 釐七毫。

    《林钟》长六寸六分七釐四毫 四分○八毫 二分 八釐八毫。

    《夷则》长六寸二分九釐九毫 三分九釐六毫 二 分八釐○。

    南吕,长五寸九分四釐六毫 三分八釐五毫 二 分七釐二毫。

    无射长五寸六分一厘二毫 三分七釐四毫 二 分六釐四毫。

    应钟,长五寸二分九釐七毫 三分六釐三毫 二 分五釐七毫。

    《半律》黄钟长五寸 三分五釐三毫 二分五釐, 大吕长四寸七分一厘九毫 三分四釐三毫 二 分四釐二毫。

    “太蔟”长四寸四分五釐四毫 三分三釐三毫 二 分三釐五毫。

    夹钟长四寸二分○四毫 三分二釐四毫 二分 二釐九毫。

    “正律黄钟”,长八寸;用商尺造依新法算 四分 二分八釐二 毫。

    “大吕”,长七寸五分五釐○ 三分八釐八毫 二分 七釐四毫。

    “太蔟”长七寸一分二釐七毫 三分七釐七毫 二 分六釐六毫。

    夹钟长六寸七分二釐七毫 三分六釐六毫 二 分五釐九毫。

    姑洗长六寸三分四釐九毫 三分五釐六毫 二 分五釐一毫。

    仲吕长五寸九分九釐三毫 三分四釐六毫 二 分四釐四毫。

    《蕤宾》长五寸六分五釐六毫 三分三釐六毫 二 分三釐七毫。

    《林钟》长五寸三分三釐九毫 三分二釐六毫 二 分三釐一毫;

    《夷则》长五寸○三釐九毫 三分一厘七毫 二分 二釐四毫,

    南吕长四寸七分五釐六毫 三分○八毫 二分 一厘八毫无射长四寸四分八釐九毫 二分九釐九毫 二 分一厘一毫。

    应钟,长四寸二分三釐七毫 二分九釐一毫 二 分○五毫。

    《半律黄钟》,长四寸 二分八釐二毫 二分。

    大吕,长三寸七分七釐五毫 二分七釐四毫 一 分九釐四毫。

    太蔟长三寸五分六釐三毫 二分六釐六毫 一 分八釐八毫。

    夹钟长三寸三分六釐三毫 二分五釐九毫 一 分八釐三毫。

    正律黄钟,长一尺二寸五分;用周尺造依新法算 六分二釐 五毫, 四分四釐一毫。

    大吕,长一尺一寸七分九釐八毫 六分○七毫 四分二釐九毫。

    太蔟,长一尺一寸一分三釐六毫 五分八釐九毫;

    四分一厘七毫

    夹钟长一尺○五分一厘一毫 五分七釐三毫 四分○五毫;

    姑洗长九寸九分二釐一毫 五分五釐六毫 三 分九釐三毫。

    仲吕长九寸三分六釐四毫 五分四釐○ 三分 八釐二毫。

    《蕤宾》长八寸八分三釐八毫 五分二釐五毫 三 分七釐一毫。

    《林钟》长八寸三分四釐二毫 五分一厘○ 三分 六釐一毫;

    《夷则》长七寸八分七釐四毫 四分九釐六毫 三 分五釐○。

    南吕长七寸四分三釐二毫 四分八釐一毫 三 分四釐○。

    无射长七寸○一厘五毫 四分六釐八毫 三分 三釐一毫。

    应钟长六寸六分二釐一毫 四分五釐四毫 三 分二釐一毫。

    《半律》黄钟,长六寸二分五釐 四分四釐一毫 三 分一厘二毫。

    大吕,长五寸八分九釐九毫 四分二釐九毫 三 分○三毫。

    太蔟长五寸五分六釐八毫 四分一厘七毫 二 分九釐四毫;

    夹钟长五寸二分五釐五毫 四分○五毫 二分 八釐六毫。

    黄钟长九寸,或依后汉志京房所算每寸皆十分此系旧法三分损益 林钟,长六寸。旧法每管内径三分或径三分四釐六毫系胡瑗法 “太蔟”长八寸,

    南吕长五寸三分,小分三强。小分三者谓三釐也下文仿此 姑洗长七寸一分小分一微强。

    应钟长四寸七分小分,四微强。

    《蕤宾》长六寸三分小分二微强。

    大吕,长八寸四分,小分三弱。

    《夷则》长五寸六分,小分二弱。

    《夹钟》长七寸四分小分,九微强。

    无射,长四寸九分,小分九强。

    仲吕长六寸六分,小分六弱。已上见后汉志即京氏所算也 黄钟长九寸,或依性理蔡元定所算每寸皆九分此系“旧法,九分为寸, 林钟长六寸。”旧法每管内外周径与黄钟同

    “太蔟”长八寸,

    南吕长五寸三分。

    姑洗长《七寸一分》。

    应钟长四寸六分六釐。

    《蕤宾》长六寸二分八釐;

    大吕,长八寸三分七釐六毫。

    《夷则》长五寸五分五釐一毫,

    夹钟长七寸四分三釐七毫三丝。

    无射,长四寸八分八釐四毫八丝。

    仲吕长六寸五分八釐三毫四丝六忽。

    每律上端,各有豁口,长广一分七釐六毫。倍律、正律、 半律皆同。勿令过与不及,不及则浊,过则清矣。通长 正数连豁口算者是也。除豁口不算,非也。倍律、正律、 半律但系律名,同者新律皆相协,旧律则不协。如是 试验,真伪可辩矣。吹时不可性急,急乃焦声,非自然 声也。古云:“细若气,微若声”,吹之可养性,有益于人也。

    谨按程颐尝曰:“黄钟之声,亦不难定,世自有知音者。” 张载尝曰:“今人求古乐太深,始以古乐为不可知。” 此语诚然也。盖知音者随处有之,点笙之人,其非知音而何?彼但不知律之名耳。宜选精于点笙之人,先择声与黄钟相似之“簧,令彼增减其蜡,务与黄钟律声全协;复择声与林钟相似之簧,亦令增减其蜡,务与林钟律声全协,然后两簧一口噙而吹之” ,则知黄钟与“林钟全协” 者为是,不协者为

    非也。《太蔟》已下诸律仿此,开列如左。

    “黄钟生林钟” ,此二律相协。

    “林钟生太蔟” ,此二律相协。

    “太蔟生南吕” ,此二律相协。

    “南吕生姑洗” ,此二律相协;

    “姑洗生应钟” ,此二律相协。

    “应钟生蕤宾”,此二律相协。已上用笙一攒。

    “蕤宾生大吕” ,此二律相协。

    “大吕生夷则” ,此二律相协;

    “夷则生夹钟” ,此二律相协。

    “夹钟生无射” ,此二律相协。

    “无射生仲吕” ,此二律相协。

    “仲吕生黄钟”,此二律相协。已上用笙一攒。

    “吹律人勿用老弱者,气与少壮不同,必不相协” ,然非律不协也。宜选一样二律,令二人互换齐吹,察其气同,乃与笙齐吹相协,照前法增减各簧之蜡,一一点成。将律吕名写于本簧之管。先取二攒,依新法所算之律。点毕,别取二攒,却依旧法。所算之律,亦照前法点成。试验,则新律与旧律,孰是孰非,皆可知矣。笙匠知音者。只吹律听之。即知协否。不用笙亦可也。。