钦定古今图书集成历象汇编历法典

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　仪象部汇考十

皇清四

　　灵台仪象志四

历法典第九十二卷

仪象部汇考十

皇清四

《灵台仪象志四》

验气说

气者，四元行之一葢。天之于地，有上中下三域。上域近火，近火常热；下域近水土，水土常为太阳所射，故气暖也；中域上远于天，下远于地，故寒也。然则各域之界，由何而分？今姑以极峻之山，画三界以喻之。山之巅为上域，风雨之所不至者也。故其气极清，而人与物不可居焉；其下为中域，霜雪必尔凝结也。又其下，则为下域。而其寒暖之分，又有轻重厚薄之不同焉。若南北二极之下，因远太阳，则上下之暖处薄，中之寒处厚。若赤道之下，因近太阳，则上下之暖处厚，中之寒处薄。以是知气域之不齐也。

四元行之中，惟“气行为最易变”，以气在天地之间，上依星辰异照，下依土水异情，其星辰各有德性，而资育万物者也。然各曜又因相会相对之势，而变异其情，则其效遂因之而亦异。且气甚微甚顺，易受诸天之变，诸效之染也。但其所为易变者，难以分别，而大概则自冷热干湿而来。然能验其为然者，则全赖人触觉之官。盖人之五官所司，惟“触司顽钝”，而不能显证其气细微之变。〈其触司所以能觉者，赖一身脉络所通之肌肤。〉何以言之？如有外热攻伐吾身，而身内之本热与之相等，则触司必不之觉也。惟外来之热，有过不及于吾身之热，而人之触司方能辨其热之强弱也。故〈仁〉特造一器，而《藉视司》即五司之最灵者，以补足触司之所不及焉。其器之属有三：一作法，一用法，一效验之所以然。所谓作法者，用琉璃器如甲乙、丙丁，置木板架如〈一百九图〉上球甲与下管乙丙丁相通，大小长短有一定之则。木架随管长短分三层，以象天地间元气之三域。下管之小半，以地水平为准。其上大半两边各分十度，其所画之度分，俱不均分，必须与天气寒热加减之势相应。故其度分离地平线上下远近若干，则其大小应加减亦若干。假如冬月在本球内之天气加厚，而其从前所占八寸之地，自收敛而归于二寸之地。若五日内如皆八分之冷，则球内之气，第一日加厚一寸，第二日不及一寸，第三日不过五分，第四五日加至三分而不动矣。若六日内八分之冷气，与此相同；而其加厚之寸分，每日不同。盖冷热之验，有所必然者。故候气之具，自与之相应；而以冷热之度，大小不平，分相对之。至于用之法颇多，总归于一，即所谓“辨冷热之分”是也。冷热者，天地万变之所起，造化之功所由成也。今姑举其用之有四以验之：一测天气，一测地气，一测人物气，一测月星等之气。先以测天气言之，天之气，昼夜无间，而无不变易，在卯酉子午时，其气之升降不同，器内之水亦应之。如卯时太阳上地。平天气加热而升。午时气更热而更升。〈气升降之理有本论〉“在乙庚，管之水亦然。酉时太阳下”，地平而天气降。子时更降，在管之水随之而归于地平。如明日较今日天气热冷若干，而在管之水因而升降，亦若于盖，昼夜如此，而周年每节气日亦如此，是以冬气与春气。又春气与夏秋等气，彼此相比，因管之水升降度分若干，可以推其冷热若干。又今年之节气于次年之节气，彼此相比亦然。欲辨东西南北等风之气何如，则以此管对之，风热则水必升，风冷则水必降，捷如影响，毫不爽焉。又以测地气者言之，凡山谷房屋，上下左右之地气，其清浊、轻重、干湿诸理，即以冷热之分，而大略可推焉。盖凡此诸气之理，或从冷热而生，或因他有而起，则冷热随之元行之轻而且微，以其所染外气，易入人物而熏染之。由是推知人物之智愚、强弱、病否诸理，皆感受于其各地之气，而有所异焉。今欲辨其各地之气何如，则置此器于地内，少顷视水之升降，可以别其地气之冷热矣。又以测人物之气者言之，譬有两人于此，其齿同，欲分别其气质何如，则使之各

摩上球甲至刻之一二分。〈一分，即六十秒，定分秒之法，有本论，大约以脉一至可当一秒。〉视水升降若干，则两人之气质分矣。医者用是法，可定病之轻重进退，亦可以别药材花草等香味力气，以定其性之温热平冷，其用无穷也。又以测太阴金木等星之情气者言之，或曰：天星之光下照，必同带热气，今欲辨之，则用此器而对太阴之光，则乙庚之水，必退分数而向地平。若有他物遮隔其光，则水必上地平而归原数。故知太阴之光，全属冷气。测金木等星之情气皆仿此。但星光愈微，则所用测器，必愈大矣。又以升降之所以然者言之，夫水之升降为热冷之效，固矣。然其故何也？盖如上球甲，一触外来热气，则内所含之气稀微舒放，奋力充塞，则球隘，既无所容，又无隙漏可出，势必逼左管之水从地平而下至丁，右管之水，从地平而上至戊矣。此热之理所必然也。若冷之理则反是，盖冷气于凡所透之物，收敛凝固，如本球甲，一触外来之冷气，则内所含之气，必收敛左管之水，欲实其虚，故不得不强之而上升矣。总之，天下之物，皆贯通联属，必相济而后能相保，此空虚之所以必欲其实也。今甲丁之气，既被外冷而收敛，则原占之所，较前必小，假如前占甲丁之所，而自收敛之后，不过甲己耳。设丁丙水不上以至己，则己丁之管，尽无气而空矣。然物性既不容空，则丁丙之水，势不得不强升以补之。假使塞管之口，而不使通外气，则甲丁内气，为外冷所逼，势必收敛凝固。虽甲丁之器为铜铁所成，必自破裂，而受外气，以补盈其空阙矣。又自外来之气甚热，而内气必欲舒放，无隙可出，则《甲丁》既无所容，亦必自破裂而奋出矣。

测气燥湿之分

夫燥气之性，于凡物之所入，即收敛而固结之。湿气之性反是，欲察天气燥湿之变，而万物中惟鸟兽之“筋皮”，显而易见，故借其筋弦以为测器。〈见《一百九图》。〉法曰：“用新造鹿筋弦，长约二尺，厚一分，以相称之斤两坠之，以通气之明架，空中横收之，上截架内紧夹之，下截以长表穿之。表之下安地平盘，令表中心即筋弦垂线，正对地平中心，本表以龙鱼之形为饰。”《验法》曰：“天气燥则龙表左转；气湿则龙表右转。气之燥湿加减若干，则表左右转亦加减若干。其加减之度”数，则于地平盘上之左右边明画之，而其器备矣。其地平盘上面界分左右，各画十度，而阔狭不等，为燥湿之数。左为燥气之界，右为湿气之界。其度各有阔狭者，盖天气收敛，其筋弦有松紧之分，故其度有大小以应之。譬如人用力紧纫一物，初用八分之力，其物可旋绕一周；再用八分之力，物绕不及一周；复再用八分之力，而物绕则仅半周矣，其用力同，而旋绕不同。夫天气加减燥湿之气，收敛筋弦之理，亦有然者。凡欲分别东西南北各方之风气，或上下左右各房屋之气燥湿何如，以此器验之，无不可也。夫气之有厚薄也，疏密也，轻重也，加减而递相为焉，何以明其然邪？今以气自然所在之地，为七十分之一分，而设言之，假如有气于此，其自然所在之地，止能盈寸，若用法以强之，则此一寸之气，能放而盈七十寸之地。又有气于此，其自然所在之地，则盈七十寸，若用法以强之，而即揪敛于一寸之地，此诸气厚薄轻重之力，与诸测法也。其强之法与器，详见《水法之本论》。

测天诸气之法，于蒙气之差所系为最大。其差加减之于高度，则其所测之合天与否可定也。其测法并其差表，具载《日躔历指》诸书中。但蒙气差细微之处极繁，不过数分秒耳。今姑举他体通广之差，并其测法差表，以明其理，而推广夫仪器之用法。夫通广之体有二：一光明易为透彻，一难透彻。皆由本体各有厚薄之分。厚薄有加减，则其所通光之差，亦因之而有加减。又“凡其所差，以天顶线为主，其顶线则立于光所初入之地。”夫日月诸星之光，若从易通光之体而难入通光之体，则其所透之光，必向顶线而凝聚矣。若从难通光之体而入易通光之体，则其所透之光，必离顶线而涣散矣。〈见《一百十三图》。〉假如丙丁为水盈之盘，于其底而置一钱，而钱所升之象，与太阳之升光同一理也。其象交水盘之边，而初入空明之气，若立顶线如壬丙己，则明见其象，不依直线而射于乙，必更离于壬丙己顶线而偏射于辛，因从难透之水体，入易透之气体故也。又试观空明之地，如辛有光，而以顶线壬丙己，从本盘之底己至立水面，丙立，有直

表，而辛光之一道照至于丙点，其光道与表影，不依直线而射戊地，必依曲线向壬丙己顶线而偏于甲，因从易透空明之气体入难透之水体故也。其测法用两象限仪，一在水面上，一正对于水面下。〈见《一百十四图》。〉而以水中表影所射之度数，对比于水外日高之度数。假如东西壬辛为半球空影，其东西全径于地平线平行。其壬东辛西两象限仪各平分九十度，两象限仪相对，同穿于壬辛顶线轴上，而任意左右转移，以对于太阳之高度。次半球形，用水盈之地平，东西之线令齐，而甲乙窥衡表对于太阳之高度，则半径辛乙表端之影，水中所对射之度数，为气水高下差之度数矣。若不用日光，则目依窥衡表甲乙线，水中所窥对之度数，为气水差之度数也。今照《比例法》，列为六等之表，以明三等体所通光之差。各体立气水等差二表，见于后篇。今约举数端以解之：

《水差》者，光既从空明之气而入透于水，则其水中所射之高度，比在空明气之高度所差若干度分也。〈见《一百四图》。〉假如太阳空明处，距天顶线八十度，而其射光一道径过半径表端甲若圆球形之器内无水，测其光道与表影在圆器内，依径线正射八十度矣。若充其水齐边，测其光道止射五十度矣。因而通气、通水之光道，差三十度，为其玻璃差者则光。〈或是物象同一理〉从空明之器，透玻璃离于径线，近远之差也。见上气水差之图，而以丁线为直径线，以水盈之圆球形为玻璃球形也。凡玻璃望远显微等镜，其所以发现物象，近远、大小、暗明、正斜之众端，皆可从此差之理而明之，详见本论。

水汽差者，则光或物象从水中升出，而射空明之气，其所以射光之线，水内气内，各离顶线近远不同之差也。假如射光之道，其在水内，离顶线五十度；其在空明气内，离本顶线六十五度，两差十五度，则此推表之度数，准合于仪器之所测矣。试于大盂内照气水差表制界节气线，日晷盂中注水，与表端齐，则太阳之光照表，其表影盂底正对于本日节气线及时刻，纤毫不爽也。若盂内无水，则表影与本节气线不对，而大谬矣。其照界节气线，日晷依常法空明气中制之，则表端与本节气线难免有过不及之差。今依《气水差表》制之，岂有表影与其所测之高度不相合者哉？

《诸曜出入地平蒙气广度差表》诸曜出入地平，必在蒙气之中，故其出入之广度，有加分，有减分，北加而南减，多寡不等。依各地北极之高度，多寡不等也。今依蒙气之高差最大者三十四分，而推其出入广度之差分，悉照各方极之出地之高度，列表如左：

诸曜出入地平蒙

气水等差表

“气水差” 者，即光及物象从气入水而斜透，水内高度之差也。所谓“水汽差” 者，即光从水入气而斜透，则气内高度之差也。气玻璃差及水玻璃差等俱仿此，皆以光离天顶之远近为主。假如太阳离天顶线四十度，气水差表内相对为三十度，其相差者乃十度也。水汽差表内相对之度为五十一度，其差则十一度也。气《玻璃》差表内相对之度为二十五度，则所差为十五度也。其馀仿此。

图

图

《论飞葭》之无合于历，

如前验气之法，其微妙如此，且不可以测天上之节气分也。况葭管飞灰，其术莫验，又安所用之哉？故凡引钟律以为验节气法者，不过欲附会欺世，而扰紊历法耳，天其可欺也哉！今约举四端以辨之：

一、春分之日，太阳正交赤道之日也。万国同是此日，故“万国同日” ，皆可以测验飞灰候气，全系地气，地气有冷热、干湿之不同，万国有不同之地气，无不一之春分也。

二、每年太阳一交，赤道便为春分，则春分万年如一，永不改变。若地气至春分时，各国每年改变不同。设欲以地气测春分，则春分年年不同矣。

三、春分只有一日，春分前后几日，地气干湿冷热大概相同，难以分别，况春分等节气，只在本日一刻之间，本日自朝至暮，地气亦大概如一，又难以分别，何可就地气以测定春分在某日某时刻乎。

四、地气本乎地势，或傍山，或近江湖，常有变换，又有风雨云雾，皆能变易地气。春分之日，全凭太阳交赤道度，距地甚远，与地何涉？岂可以多变之地气，测验不变之春分也？

《测中域》云：“高度之法。”

假如空际有云象，〈见《一百十图》。〉其一端为“甲”，两人各用《象限》仪，一从乙处，一从丁处。〈从丙处更便〉“测其高度”，因于甲乙丁三角形内得其三角并乙丁线之步数，故照法推知甲乙线。今以甲戊线为从云而下之垂线，甲乙戊三角形内既得甲乙线，而甲戊乙为直角，则依句股法之理，推知甲戊线之步数，而可得云之高度矣。虹霓诸类之高度，与云象诸测法皆仿此。其测彗孛新星等，另有本论。若测雷起处距地近远等，则以测时刻分秒之垂球仪，可推而知也。详见《别集》。

测“空际异色并虹霓珥晕诸象。”

《格物家》论色之异有二：一真实，一幻妄。何谓真实？盖从寒热燥湿四元行之情相交而生，然必杂体可见，而纯体不可见也。何谓幻妄？盖从光照物体退返之势而生，虽易显著，亦易涣散。夫二者亦各分五等，正相反者有二，纯白纯黑是也。又中等者有三，黄红青是也。由是五等彼此相交相变，而各色生矣。〈见“一百十一图。” 〉姑以各色玻璃相交映之势言之，于一密室中，户牖皆闭，务令幽暗，或户或牖，微开一隙，其大小与玻璃相称，而以通日光。隙内置各色玻璃，用洁白纸对之，其日光透射玻璃，玻璃所映之色，必映于纸上。如隙内并置玻璃两片，一黄色一红色者，则纸上必现黄金之色矣；如并置两片，一黄一青者，则纸上必现绿“色矣。如并置两片，一红一青者，则纸上必现紫色矣。馀仿此。”若以铜圆柱镜对于通日光之隙，则周围返照之光，而五彩虹霓之象俱显矣。至于各色明丽深浅浓淡之加减，则随其圆柱镜之光有斜正返照之势而生焉。盖圆柱镜返照之日光愈斜，则其所映之光愈昏，而其色之变异遂去日之原光愈远矣。若夫真实之色，别有阐发，今止就幻妄之色而论之。大凡有形象者，皆由质、模、作为四者，而成诸异色也。其质者，即空际之气也，气必稍厚而密，方可成色。其模者，即光也，光道愈密，则各色必愈明丽矣。其作者即太阳与射光之星月也，其为者，即六合品汇之全，而万有之美也。其色之异者，或由夫气质之厚薄，或由夫光辉之进退，或由夫空际之异势。盖凡光照空际之体厚，则其

所生之色，必深而黑。若体稍薄而湿，则其色必青。若又稍薄，则其色必红。若体薄甚，则其色青绿。若体精而稍厚，色则为黄矣。即日月星辰之异色，多为空际之所映射而致，正如火焰之异色，由烟气熏灼而成耳。

夫空际彩色之异，从云气之厚薄而生，《前论》已悉之矣。今更借玻璃之五彩以明之：如三棱角玻璃，从每角起至对角面止，则玻璃之体渐次加厚。〈见《一百十二图》。〉“甲乙戊己为三棱角玻璃”，分三等厚薄之界线，因而所见彩色约分三等焉，如“香圆色”、红花色、天青色是也。其馀诸色，从此三色交映而生。盖太阳之光斜透，玻璃必多混杂，其玻璃厚薄若干，则日光混杂亦若干，而其所现彩色浓淡即若干矣。如玻璃上层甲乙较他层更薄，日光易透，故其所映之光稍混，而彩色“与原光相近，其所现之色浅淡，如香圆色是也。玻璃下层戊己较他层厚甚，日光难透，故其所映之光朦混，而彩色与原光相远，其所现之色深浓，如天青色是也。玻璃中层在厚薄之间，故人目透视之日光，其彩色乃在青黄之中，如红花色是也。”然则日光之浓淡昏明，无不从玻璃之厚薄而生也。审此，则玻璃所现之彩色，与虹霓之彩色，其理固无异矣。又虹霓本然之妙，及其所以然之奇，为众象首。原夫虹霓乃润云被日对照，而成多色之弧也。盖云者虹之质，而云之润乃所以必成其虹质之势也。一被日对照，而虹乃由之以成矣。夫云非当其化雨，则不能生虹，而云非承日光，则虹无由而成。又日光非正对，则虹又无由而成。故虹之见也，必朝西而暮东，亦或东北也。曰“弧”者，虹形之曲也。曰“多色”者，别虹于诸色，他弧他象也。次曰同时多虹可成。假如日当于午，东西方各有云气，日光照之，遂成虹矣。但因人目限于一方，止见其一，而不能并见其他耳。假使一方而有二云，日光照之，其一正对者变虹矣；而其回光照及相近之云，又二变而为虹矣。又由此云，所照之日光退传至于他云，又三变而为虹矣。若论其色之奇，三变不如其二变，二变不如其初变。盖初所变之虹，则受日光之正照，而二变与三所变之虹，不过受斜退之光已耳。虹色虽多，约分为三：上如香，圆色也；中如“青草色也，下如红花色也。”然其所以不同之故，由于云之厚薄异势。故云之上白而且薄，接日之照则现黄色，中之体厚则现绿色，其下尤厚则现红色矣。至若云之厚薄之异，由于气之势异也。气之轻且薄者，腾愈高，接日光愈深，其回光愈弱，所生之色愈轻淡矣。气之浊且厚者，腾愈下，日光愈浅，其回光愈强，所生之色愈浓深矣。至言二变之虹，较之初变之虹，色虽同而序相反，上反为红，中绿自若，而下者反黄矣。次曰日月晕，虹霓等象，皆为圆形。其所以然者，乃由日光斜透之势耳。凡现虹霓之时，皆太阳所映彩色，故碧落之云，无不变现。但人目止见一圆弧之异色，因其斜透圆弧之光道，皆离太阳及离人目有一定之远近故耳。如鹁鸽之颈，孔雀之翎，向日空中虽发多色，人目旁见之，必有一定之近远。若或过或不及，则异色俱不见矣。天文家常测得虹霓之半径为四十五度，日晕半径为二十二度半，如甲为日，乙为人目，丙丁为日晕，中心为庚，过中心之光道，甲庚乙为日晕之轴也。太阳所透周围之光道，各离日晕之中轴二十二度半，而此度数以内以外之光道，乙日皆不得见其所映之彩色矣。月晕日珥及日月旁气之象，其彩其形皆仿此。凡此类通光，并生杂色之云气，比之取火之玻璃镜，如太阳之透玻璃镜，远近无不射其光，但其聚光聚火之处，在圆光之中，离玻璃后面有一定之近远，人目所见云内彩色之处，亦在过不及之中耳。

凡从“原光” 所生之彩色，皆为次光之类。比之原光，犹灯光之比日光焉。然灯光白日淡而不显，夜则大显。五彩之光亦然，暗地则大显者，是各发其所以映之异色也。夫太阳在地平之上，终日照耀四方，无不斜透空际之云气，而映成多色矣。凡异色于白日不显，至晨昏倍觉分明，职此故耳。

测水法

水之周绕于地，同为圆形，已详于《别集》矣。〈并见《全地图》。〉今略举测水平之器与其法而言之：夫“水平”，人人之所知也。然水平之理及测法之极致，则取水平者皆有所不知焉。如五六丈之远以取平，难见其谬；若至数十丈，或数里之远，并其测

法俱穷矣。且测法之准与不准，所系为甚巨。盖

国家之大工，如挑浚河渠，为兴利防患计者，不越。

乎此。夫水之通塞，分于毫末之高庳？其说别详于《引水法论》。盖水平之与地平有异，所谓地平者，乃地上一线与过地中心之垂线为直角也。其线两端，距地中心近远不同，而与地平无碍。〈见《一百三图》。〉甲丙戊丁为地水球，甲乙线之两端，甲与乙去地中心戊近远不同，但其本线与垂线甲戊作直角，实为地平线也。所谓“地平线”者，必其两端去地中心近远无二，如上图内辛壬线是也。今姑举数题，以明其测法。

第一题

测定两地同在水平线上下若干，法曰：“取其平器，安于两地互相距度数之中。”〈见《一百四图》。〉假如测戊己两处，同在戊己水平线中，否则取平仪安于丁，而从本仪左右之两端表窥测两处，从右表窥向左处，从左表窥向右处。若测戊丁两处，而仪器止安于一端如丁，则以丁戊线为水平线，而大误矣。若照此线引水，从丁至戊，则其水必从戊向丁倒流矣。盖测定高法，以垂线为主，而垂线以地平中心为定向，不拘何物之垂线在地面上若干，则其本物之为高低亦若干。今戊癸线为戊高之垂线，丁戊两处所差之高度则戊癸线也。戊丁两处互相距愈远，其差愈多。古有测山之高，而每有所误者，多在于此。〈见一百五图〉乙丙为高山在地面上。古用象限仪，从远处戊测其高，以目所窥壬处为山顶，而以其在地平戊己线上之垂线壬己为山之高。但山之高，则以其向地中心之垂线乙丙丁为主，而以其在地面上乙丙垂线为本山之高。其测法在《测量山岳之论》内详之。今姑以《测地近远法》内所列测高远表，可推而定焉。夫定水平法，原系细微之法，若仪之安法或窥法有分秒之差，而以测高低，则大谬矣。假如一处相距百步，而安取平仪，或窥法之误，不过一分之数釐，而其水平线遂差至四五尺有馀也。若测两处高低之差，其两处相距倘不甚远，则于其适中处安仪，而依法以测之，即可以取定其平矣。若相距甚远，须于相距处均画数方，而于每方之居中安仪，测定左右各至之高低，然后将所测定各方左右两处之高低总归于一，而相比之，则可以定其相距之高低矣。测大海江河、泉井等水之深浅轻重、咸淡若干，各有本法，本器另有本论详之。

垂线球仪

垂线球何昉乎？盖近今数十年以来，远西之历学名家特创新意而曲尽其测验之法者也。故凡时刻之分秒纤微，天行毫末之差数，靡不于时而可悉焉。不宁惟是，举天下运动之疾，如空际之雷响诸类也，弓所发之矢也，铳所激之弹也，皆可以测而推之也。其器较诸仪为最简，而其为用则甚便云。

测法三题

第一题：《测日月之全径》。〈见《一百十五图》。〉此题甚有系于推测历理，盖凡定二曜之大小及交食之分秒，地影之广狭，与太阳、太阴距地之远近，四时并每月各有不同，以至日月与本天有最高最卑之处，大约皆用加减表等算法而定也。今以垂线球可测而定之法曰“安定三角形线。”〈见一百十五图〉对天正南北之线测候，须以二人。如甲人测候至日月体之西弧，与南北三角形线及窥目相参直，次乙人放《垂线》而数其往来之秒，至本曜之东弧，与角线并窥目相参直。彼时若本曜行赤道线，则以本表查时刻之分秒，而变通于天度之分秒，即得本径之分秒矣。若本曜杂于赤道之内外，则定其纬度，与赤道平行圈相距之度分若干，而以本圈之分秒与相应赤道之分秒相对，则通变之以求其分秒，即得矣。见《大小圈度相应表》。

第二题测天上不拘何两星相距赤道经度之分秒。法曰：“照前题测候，此两星与上三角形线相参直，而两中间凡有垂球往来之分秒，照前法变度数之分秒。凡二星密近，用他仪测候，难得其相距之分秒。用此垂线仪，则一仰观而即得矣。”

第三题：凡重物陨坠所行之丈尺，并求其所须时刻之分秒，有再加之比例。其比例以不平分之数而明之，如一、三、五、七、九、十一等。假如有重物于此自高坠下，若第一秒内下行一丈，则第二秒内行三丈，第三秒内行五丈，第五秒内行七丈，后行前行相并，如第一秒之行一丈。第

二秒之行三丈，则并之为四丈；又第三秒之行五丈，并于第二秒之行四丈，则共得九丈。又有八寸之垂线球于此，其一往一来而相应则十微也。设有物之重八两者，自高坠下，则五十微内下行一丈，其递加仿此。今依此比例之数列表如左：

《八寸垂　　　　：一一二二》。

《线球》：〈单行。〉《五○五○五》。

相秒，〈○一二、三、四〉

应微。〈五四、三、二一○○○○○。〉

〈重物分行丈数〉一三五《七九》

〈重物总行丈数〉一四九。〈一二六五〉

不平分数，一三五七九。

用法

“手握垂球，不急不缓”，任意离之于顶线。〈见《六十四图》。〉假如甲自甲至乙乃释手放之，则球之中心恒当天顶一圈线之中，自上下往来而离顶线。其左右则作圈线弧，如甲、乙、丙，而其圈之中心在于轴之中心如戊。此圈弧短小，如将尽时，即照前法提球而放之，令往来一日相继，以定时刻分秒之准则焉。但初放时，其圈弧不可太过，大略在四十五度之内，又从而提之，不可等球往来全尽，如将尽，则又提球而放之。各有定规，学者习而熟之，无所施而不可也。今约举数题以解之。

第一题：凡垂球一来一往之单行，其相应之时刻分秒皆相等，又凡垂球往来之双行，其相应之时刻分秒亦相等。所谓单行者，即垂球之一往或一来也。假若从甲至乙，为一往之单行，从乙至甲为一来之单行，从甲至乙并从乙回至甲，即往来之双行也。解曰：“若用测分秒之赤道大仪，或细微沙漏、水漏，或本人”脉息之数而对比之。夫垂球往来之数，必观其大弧之往来与小弧之往来，论时刻之分秒皆相等也。又大弧之往来疾，小弧之往来迟、迟疾不同，而其所历时刻之秒，大弧小弧皆相同也。又试依正南北安定三角形线，而晴夜测候，不拘为何星而交切之，一交切则放垂球而数其往来，至他星正交之时，则记其数若干。〈两星相距愈远，其测法愈准。〉次夜又测候前两星交三角形线之时，又放球如前，而记其往来之数。此两夜中，就其往来之弧，大小各有不同，究之次夜所记之数，必与前一夜所记之数相同也。如法三夜连测之，其从角宿交切本三角形线，至大角星交切之，则两间球之往来皆至三千二百十二之数，盖莫准于此也。

第二题有两垂线球，除垂线长短不等，其馀相等，其短者之尺寸与长者之尺寸，如长者往来之方数，比短者于相等时刻往来之方数。假如两垂线球，甲乙甲球之垂线长一尺，乙球之垂线长二尺，试观甲球往来八十五次之时，则乙球必往来六十次耳。然六十之方数即三千六百，与八十五之方数即七千二百。如“一与二夫八十五” 之方数，虽本为七千二百二十五，而其与前方数有微差，原从垂线往来之总数而生；若论其细分，即无差矣。盖垂线一往一来，各有细分，但难以分别之。又设若乙球之垂线长三尺，甲球之垂线仍一尺，则甲球六十次往来之时，乙球之往来必一百零四次，而其方数即一万○千八百十六与三千六百，约如“三” 与一也；

第三题有两垂线球，甲、乙除垂线长短不等，其馀相等。以甲球往来之数求乙球往来之数。法曰：“甲球往来之方数与其垂线长之尺寸分釐相乘，而所得之商数与乙球垂线长之尺寸分釐归之” ，又归除之商数，依开方法取其根。盖根数多寡若干，则乙球之往来多寡若干。第四题以垂线球之往来求相应之时刻分秒。

法曰：“以其准定分秒之日晷，法，如赤道大仪。”

或以两星相距定分秒之度数，照前第一题交切南北线，求某垂线球往来之总数，相应天上分秒之总数几何。然后以三率法推定本球每一往一来相应之分秒几何。依此法曾制垂线球，推定其一往一来相应天上一秒，六十次往来正对一分，所以一刻内有九百往来，四刻内共三千六百往来之数。

第五题以某垂线球相应之分秒，求他不拘大小垂球相应之分秒、纤微等法曰：“照第三题用比例法，其一往一来相应三十微” ，其往来之

双行相应一秒，因而上第四题所定之垂球六十次往来之时，此垂球往来一百二十次，又更加细微。亦曾另制小垂线球，推定其一往一来，相应天上十微。所以六次往来对一秒，六十往来对十秒，三百六十往来对一分。若以之定自鸣钟，虽历二三月之久，不调其轮牌而分秒无差，待此器至中夏之时，自详言其用法。

《第六题》：“凡求时刻之分秒，如无诸仪，参测其细微，则随时随处而以本身之脉息可推而知也。盖人当气血平和之时，其一息大率应时刻分之一秒，如当测时切脉而自数其息，则以其定秒推之，而以球之往来较之。” 假如球每一往一来为一秒，而其六十次之往来为一分，当彼六十次往来之时，若己之脉息亦至六十次，则每一息代秒用之。若有过不及之差，则用比例法。假如球六十次往来之时，数己之脉息至六十八次，则一次为比例之共率，因得三十四脉息相应三十秒，十七脉息相应十五秒，馀仿此。盖六十八与三十四，如六十与三十，又六十八与十七，如六十与十五，同一比例之理也。第七题拟天以下之疾行比而推天以上之疾行近。今有测量名家，依前定秒微诸法，曾验放小铳时于三秒内，其弹行一百八十二丈之远。设使此弹常飞行空中而不断，则必阅十一年零一百一十八日，而其所行，不能尽太阳一日所行之度也。照此推算，则六十秒即一分内行三千六百四十丈之远，而六十分即四刻内行二十一万八千四百丈之远；若九十六刻即一日内行五百二十四万一千六百丈之远。今以丈数归之里数，凡一里既为二百一十六丈，则前所计丈数共为二万四千二百六十六里一百四十丈也。然地球每一度为二百五十里算之，则天下周围共九万里；而铳之，弹一日止行二万四千二百六十七里矣；若行至九万里之远，则必须三日零六十八刻有馀。《历学公论》曰：“地球之全径，其在于太阳天之全径者，如一与一千一百四十二之比例。” 今周与周如径与径之比例，则太阳天周围之里数，包地周围之里数一千一百四十二倍也。若照前所拟铳弹，行空三日而不断，则必须四千二百三十三日，即十一年零一百一十八日，始行尽于太阳天一日内所行一周之里数矣。又《恒星》天全径与太阳天全径，如十二与一，则恒星天一周包日天一周十二倍也。故夫铳弹以行尽太阳天之数推之，则必须一百三十九年零八十四日，始行尽于恒星一日所行之里数矣。然凡此天行之疾，则又有何所比拟哉？

作法假如：〈六十四图。〉庚辛为铜横条，钉稳于横木梁上，令毫不动摇。壬丁戊己为粗铜耳，中安铜轴，而轴长径线丁戊须与地平线平行。轴中系垂线球，其球随本横轴转动，恒当甲丙过天顶一圈线之中往来，而不离于左右。其轴之长径与垂球之径相等，以便自此轴中心至球之中心比测，而定垂线长短之尺寸分釐。其垂线为小“圈相连之铜锁，其垂线之长短，其重之分两，又垂球之分两，皆须预知而准定，使毫不差失，而器于是乎全已。