钦定古今图书集成/历象汇编/历法典/第114卷 中华文库

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    　第一百十四卷目录

    　算法部汇考六

    　　算法统宗二〈算义总二〉

    历法典第一百十四卷

    算法部汇考六

    《算法统宗二》

    算义总二

    乘法：〈《留头乘》：〉

    按：“因”与乘，一也。单位者谓之“因”，位数多者谓之“乘”，特 以此而异其名耳。

    原有“破头乘” 、《掉尾乘》《隔位乘》，总不如《留头乘》之妙，故皆不录。

    歌曰

    下乘之法此为真，起手先将得二因，三四五来乘遍 了，却将本位破其身。

    用“留头”乘法，若依盘式，小九数，位次先后不一，难以 挨次。今将暗马数以别先后，庶不乱矣。〈暗马式附前用字凡例中〉 假如今有布四百二十五疋，每疋价银二钱五分，问 共该银若干？

    答曰：“一百零六两二钱五分。”

    法曰：置布为实，以每疋价银二钱五分为法乘之，合 问定位。法只认疋下一位定钱，依次逆数陞上，合 得也。此所谓因乘俱向下位推。

    图

    还原。〈用归除法详后。〉

    二一添作《五》。〈无除〉　起一下还二　四五除二十， 逢四进二十　二，五除一十　二一添作五，　五五 除二十五。

    假如今有豆二十八石六斗，每斗价银三分四釐五 毫，问共该银若干？

    答曰：“九两八钱六分七釐。”

    法曰：置豆为实，以每斗三分四釐五毫为法乘之，合 问定位同前。

    图

    还原。〈用归除法详后。〉

    逢六进二十　二，四如除八，　二五除一十　三，二 六，十二。　逢六进二十　四，八除三十二，　五八除 四十　三，二六十二，　《四六》除二十四，　五六除三 十。

    假如今有银三十五两八钱，每银一两，籴米二石四 斗六升八合，问该米若干？

    答曰：“八十八石三斗五升四合四勺。”

    法曰：“置总银为实，以每两籴米”数为法乘之，合问 定位同前。

    图

    还原。〈用归除法详后。〉

    逢六进三十　三，四除一十二，　三六除一十八， 三八除二十四，　二一添作五，　四五除二十　五， 六除三十　五，八除四十　二，一添作五。　逢《六进》 三十　四，八除三十二，　六八除四十八，　八八除 六十四。

    假如今有米三百四十五石，每石价银四钱外牙用 三釐，问该银若干？

    答曰：“一百三十九两零三分五釐。”

    法曰：置总米为实，以每石价并牙用共四钱零三釐 为法乘之，合问定位同前

    图

    还原。〈用归除法详后。〉

    四一二十二，　逢四进一十　三，三如除九　四一， 二十二，　逢八进二十　三，四除一十二，　四二添 作五，　三五除一十五。

    假如今有田二千三百四十五亩，每亩科粮一斗八 升七合，问该粮米若干？

    答曰：“四百三十八石五斗一升五合。”

    法曰：置总田为实，以每亩科米一斗八升七合为法， 乘之，合问。

    图

    还原。〈用归除法详后。〉

    逢二进二十　二八除一十六，　二七除一十四； 逢三进三十　三八除二十四，　三七除二十一； 逢四进四十　四八除三十二，　四七除二十八； 逢五进五十　五八除四十　　五，七除三十五。 假如今有直田长三十六步三分，阔七步四分。问该 田积若干？

    答曰：“二百六十八步六分二釐。”

    法曰：置长为实，以阔七步四分为法乘之，合问定 位法，只认步下一位是法首，步数逆上，合得也。

    图

    还原。〈用归除法详后。〉

    “《七二》下加六”，　逢七进一十　三，四除一十二　；《七 四》五十五，　逢七进一十　四，六除二十四。　“《七二》 下加六”，　逢七进一十　三，四除一十二。

    假如今有田长七十五步，阔三十二步，问该积步若 干？

    答曰：“二千四百步。”

    法曰：置长为实，以阔为法乘之，合问定位法。只认 原实步下一位定法，首位十逆陞合得。

    图

    假如今有方田，长、阔各一百二十六步，问该积步若 干？

    答曰：“一万五千八百七十六步。”

    法曰：置方面一百二十六步为实，亦置一百二十六 步为法，即自乘之，合问。

    图

    还原。〈用归除法详后。〉

    逢一进一十　一，二如除二，　　一六如除六。　　逢二 进二十　　　二，二如除四，　　二六，除一十二。　逢六进 六　　　　　二六除一十二，　六六除三十六。

    归除

    凡二至九位，数多者，用此置物为实，以价或分者为 法，先将法首对实首呼九归歌，或进或倍，后将法次 位对所归数呼九九数除之，用乘法还原。

    歌曰

    惟有《归除》法更奇。〈算学中惟归除最妙〉将身归了，次除之。〈先将本位 呼归法归之其次不拘几位俱呼小九数除之〉有归若是无除数，〈若本位有子可归次 位无子可除也〉起一还将原数施。〈如一归本位起一下位还一如二归本位起一下位 还二馀仿此〉或遇本归归不得{{Annotation|，如一归只一子，二归只二子，因下位无子可除，故不能归也。馀仿此。}}“撞归之法莫教迟。”〈如一归见一无除加八撞凑作九下位加一如撞归 讫除数不足照前用起一还原法〉若人识得其中意。〈如学者晓得归除中间之理深 奥也〉算学虽深可尽知。〈云算者用心习学可以尽识者矣〉

    撞归法

    〈一归〉见“一。”〈原实〉无除作“九。”〈得数〉一、〈馀数后仿此〉 〈二归〉见二无除作九二。　〈三归〉见三无除作九三。 〈四归〉见四无除，作九四。　〈五归〉见五无除作九五。 〈六归〉见“六”无除作九六。　〈七归〉见“七”无除作九七。 〈八归〉见八无除，作九八。　〈九归〉见九无除作九九 已有归。而无除用起一还原法。〈即是起一还将原数施也〉 〈一归〉起《一》。〈得数〉《下还一》。〈原实〉○〈本位起一下位还一若二归起一则下位还二馀仿此〉 〈二归〉《起一》下，还二。　　〈三归〉《起一》下，还三。

    〈四归〉《起一》下，还四。　　〈五归〉《起一》下，还五。

    〈六归〉《起一》下，还六。　　〈七归〉《起一》下，还七。

    〈八归〉《起一》下，还八。　　〈九归〉《起一》下，还九。

    撞归者，有归而无除之谓也。予以法实盈亏进退之 理推之，盈则有归，照法首之数进于上位成十；亏则 无除起一；退于下位，照法首之数还原。先哲有云：“见 一无除作九一”之类，此正谓有归无除之秘法。知此， 可与论《制算纂法》之深奥矣。

    假如今有银二百四十三两，《籴米》每斗价银五分四 釐，问共该米若干？

    答曰：“四百五十石。”

    法曰：置总银为实，以每斗价五分四釐为法归除之， 合问定位法，只认实上原首位起，往后顺数至分， 遇法首位是每斗三分则止。前一位得令是斗逆数 陞上合得，后仿此。

    图

    还原。〈用乘法。〉

    四五得二十，　五五二十五，　四四一十六，　四五 得二十。

    假如今有银二百六十五两三钱二分，作十二人分 之，问每人该银若干？

    答曰：“二十二两一钱一分。”

    法曰：置银为实，以十二人为法，归除之，合问定位， 与前《归法》同。

    图

    还原。〈用乘法。〉

    一二如二，　一一如一，　一二如二，　一一如一， 二二如四，　一二如二，　二二如四，　一二如二。 假如今有米一百二十九石九斗六升，作一十九人 分之，问每人该米若干？

    答曰：“六石八斗四升。”

    法曰：置米为实，以一十九人为法，除之，合问。

    图

    还原。〈用乘法。〉

    四九三十六，　一四如四，　八九七十二，　一八如 八，　六九五十四，　一六如六。

    假如今有银二十六两六钱，买猪二十八只，问每只 该银若干？

    答曰：“九钱五分。”

    法曰：置银为实，以猪二十八只为法，除之，合问。

    图

    还原。〈用乘法。〉

    五八得四十　二，五得一十　八，九七十二，　二九 一十八。

    假如今有金二两八钱三分五釐，作四百零五人分 之，问每人该金若干？

    答曰：“七釐。”

    法曰：置金为实，以人数为法除之，合问定位，法多实少。先从原实首位起，往前逐位逆数陞上，至呼遇 法首位百则止，向前一位得，令是两降下，合得。

    图

    还原。〈用乘法。〉

    五七三十五，　四七二十八。

    假如今有米二十二石五斗二升，作五千六百三十 人分问，每人该米若干？

    答曰：“四合。”

    法曰：置米为实，以人数为法除之，合问定位，法多 实少同前。

    图

    还原。〈用乘法。〉

    四六二十四，　三四一十二，　四五得二十。

    假如今有银一千零九十七两二钱五分，作五百七 十人分之，问每人该银若干？

    答曰：“一两九钱二分五釐。”

    法曰：置银为实，以人数为法除之，合问定位法。先 数原实千，顺下至法首百，前位定两，合得。

    图

    还原。〈用乘法。〉

    五七三十五，　五五二十五，　二七一十四，　二五 得一，十　七九六十三，　五九四十五，　一七如七。

    一五如五

    假如今有银四钱八分，每银七分五釐换赤金一分， 问该金若干？

    答曰：“六分四釐。”

    法曰：置总银为实，以七分五釐为法，除之，合问。

    图

    还原。〈用乘法。〉

    四五得二十　四，《七》二十八，　《五六》得三十　六，《七》 四十二，

    假如今有钱五千六百四十文，买梨一万六千九百 二十枚，问每钱一文买梨若干？

    答曰：“三枚。”

    法曰：“置梨为实，以钱数为法除之，合问。”

    图

    还原。〈用乘法。〉

    三六一十八，　三四一十二，　三五一十五。

    假如今有银五万五千三百八十五两，作一千零七 人分之，问每人该银若干？

    答曰：“五十五两。”

    法曰：置银为实，以人数为法，除之，合问。

    图

    还原。〈隔二位乘。〉

    五七三十五，　一五如五。　五七三十五，　一五如

    五。

    加法

    凡乘法首位有一数者，用此置所有物为实，以所求 价为法加之。然加法不用首位一数，只以次位馀数 加之。言十就身，加十言如。次位加如，亦从末位算起， 用减法还原。

    歌曰

    加法仍从下位，先如因位，数或多焉，十归本位，零居 次，一外添加法更元。

    假如今有珍珠二百六十八颗，每颗价银一两一钱， 问该银若干？

    答曰：“二百九十四两八钱。”

    法曰：置珠为实，以每颗价除价首一两，只以次价一 钱为法，从末位加起，次第而上，定位只认颗。本位 定两，十颗上定十两，百颗上定百两。所谓“加减只须 认本位”也。馀仿此。

    图

    还原。〈用减法，即定身除也。〉

    《一，二减去二》。〈九去二存七〉　一六减去《六》。〈除六下还四〉　一八 减去《八》。〈恰尽〉

    假如今有绢九丈八尺，每尺价一钱三分五釐，问共 该银若干？

    答曰：“一十三两二钱三分。”

    《法》曰：置绢为实，以每尺除价首一钱，只以三分五釐 为法，加之定位只认尺本位定钱，丈上定两，十丈 定十两，合得。

    图

    假如今有罗二百四十六疋，每疋价银一两二钱七 分五釐，问该银若干？

    答曰：“三百一十三两六钱五分。”

    法曰：置罗为实，以每疋除价首一两，只以二钱七分 五釐为法，加之定位，只认疋位上定两，依次逆陞， 合得。

    六七加四十二，　五六加三十　二，六加一十二， 《四七》加二十八，　四五加二十　二，四如加八，　《二 七》加一十四，　《二五》加一十　二，二如加四。

    假如今有米四万六千七百五十一石，每石加耗七 升，问共该米若干？

    答曰：正耗共该五万零零二十三石五斗七升。 法曰：“置正米为实，以耗米七升为法，隔位加之，合问 一七加七。”〈先从石上起呼于隔位升上〉　五七加三十五。〈石上加三斗下 位加五〉　七七加四十九。〈十位加四下位加九九退一成一十〉　六七加 四十二。〈百位加四四下五除一下位加二二起八成一十〉　四七加二十八。 〈千位加二下位加八〉

    按：因、乘、加三法，其名虽殊，而理则一。但加法须记实 位，不动本身，学者宜当详审，不致差误也。

    减法

    凡归除遇法首位有一数者，用此所谓“定身除”者，先 定本身之位，而后减除也。置所有物为实，以所求价 为法，与身数相呼，九九之数言十，就身言如，隔位次 第，如法减而除之。〈先从实首位起用加法还原〉 定位法，因实位本身减去，而无逢进、比归除而降一 位。今将法首一数除而不用，亦可以抵逢、《进》、陞位也。

    歌曰

    减法须知先定身，得其身数始为真。法中有一何曾 用，身外除零妙入神。

    假如今有银二百九十四两八钱买绢，每疋价银一 两一钱，问该绢若干？

    答曰：“二百六十八疋。”

    法曰：置总银为实，以每疋除价首一两不用，只以次 位一钱为法，定身减而除之，合问定位。此是求总 之法数，原实顺下，至钱则止，前一位是疋也。逆数陞 上，合得。

    图

    假如今有米一千零三十八石，作一百七十三人分 之，问每人该米若干？

    答曰：“六石。”

    法曰：置米为实，以人数除首位百不用，只以七十三人为法，定身除之，合问定位，此是求零之法。先数 原实起，顺下至遇法首十数则止，前一位得令是石 也。

    图

    假如今有金八十九两三钱八分，令金户一百零九 人办纳，问每人各该若干？

    答曰：“八钱二分。”

    法曰：置金为实，以金户除百不用。只以九人为法，隔 位定身除之，合问。

    图

    求一乘除法

    按：古有之大位，因考其法，用倍折之繁难，不如《归除》 之简易，故今于此而废之，使学者专心于乘除、加减 之法，而无他岐之惑焉。

    商除

    “商除”者，商量而除之也。如定商太过，则总数不足而 无除，如定商不及，则总数有馀，务要酌量彀除方可。 然此一术，亦兼归除，归除既通，不必学此。但开方之 法，必用商除，演此而为梯阶，其法不可废也。

    歌曰

    数中有术号商除，商总分排两位推。惟有开方须用 此，续商不尽命其馀。

    假如今有军士六百名，分粮三百九十四石二斗，问 每名该若干？

    答曰：“六斗五升七合。”

    法曰：置粮米于盘中为实，以军士六百名于右为法， 商除之。初商六十于左位，就以左右相呼，六六除实 三百六十石，馀实三十四石二斗。次商五升于左位 六斗之次，就以次商五升对右六相呼，五六除实三 十石，馀实四石二斗。再商七合于左位五升之下，就 以左七对右六相呼，六七除实四斗二升恰尽。今 列布算式于后。

    商除式样

    学者但看《初商》，即看初除，又看次商，又看次除，复看 再商，复看再除，挨次位数，则不乱矣。

    图

    假如今有芝麻六十七石，榨得油三千零一十五斤， 问每石该油若干？

    答曰：“四十五斤。”

    《法》曰：置油数于盘中为实，以麻六十七石于右，为商。 除法初商四十斤于左，就以左右相呼，四六除实二 千四百。又呼，四七除二百八十斤，馀实三百三十五 斤。次商五斤于初，商四十之下位，就以五斤对右六 相呼，五六除三百。又呼，五七除三十五斤，恰尽合得。

    约分法

    约以分子，通以分母也。法曰：“可半者半之，不可半者 以少减多，更相减损，求其有等。”以等约之，若数如四 分两之一者，二钱五分也，此为有尽。若数如三分两 之一者，三钱三分三釐三毫有零也，此所谓不尽。必 须约分之法。

    解曰：约分者，谓用除法多有畸零，数之不尽，带有几千百分者，以约去其繁而就其简也，或有不可约者，

    法曰：数多为母，数少为子。子母之数两列，互相减损 至同，就以此数为法，各以法除子母原数，却无畸零， 所谓“齐不齐而致其齐”也。如人分银，以至数之不能 尽者，亦有物之不可分者，不能呼数，必以法而约之。

    歌曰

    数有参差不可齐，须凭《约法》命分之。法为分母实为 子，不与差分一例推。

    又歌

    约分须分子母名，更相减损至同成就把其同为法 则，除来各数自无零。

    假如今有物九十八，除了四十二，问约得若干？ 答曰：“七分之三法曰：数多为母，数少为子。置母九十八，内减去二个 四十二，馀一十四。另置子四十二，减去二个一十四， 亦馀一十四，谓之子母相同。就以十四为法，除母九 十八，是七个一十四。另以十四为法，除子四十二，是 三个一十四。故曰：“七分中除三，馀仿此。”

    假如今有二十一分之一十四，问，约得若干？

    答曰：“三分之二。”

    法曰：置母二十一，减去子一十四，馀七。另置子一十 四，减去七，亦馀七。就以七为法，除母二十一，得三。又 以法七除子一十四，得二。合问。

    假如今有丝二百五十二斤，卖过一百四十四斤，问 约得若干？

    答曰：“七分斤之四。”

    法曰：置母二百五十二，减去子一百四十四，馀母一 百零八。反将原子一百四十四，减去馀母一百零八， 馀子三十六。又将馀母一百零八，减去馀子二个三 十六，馀母亦三十六。为之更相减损，就以母子同数 为法，以除原母、原子，各得分数。

    假如今有鸭七十二只，生子六十三个。问“约得若干？” 答曰：“八分个之七。”〈即是八只鸭生七个子也〉

    法曰：列子母数，更相减损，置母七十二，减去子六十 三，馀母九。反将子六十三内减去六个，馀母九，子亦 馀九。就以九为法，除原母七十二，得八个九。又以法 九除原子六十三，得七个九。故命之曰“八分之七”也。

    乘分

    假如今有一百九十人，支银一两、十九分两之一，问 该银若干？

    答曰：“二百两。”

    法曰：置银一两，以分母十九通之，加分子一，共得二 十。又以人一百九十乘，得三千八百为实。却以支银 一两，以分母十九通之，得十九两为法。除之，合问。

    《解题》曰：“十九分两之一，每人即一两零五分二釐六毫有零。”

    课分

    假如今有布二疋，九分疋之五，用过一疋，六分疋之 一，问尚馀若干。

    答曰：“馀一疋，又十八分疋之七。”

    法曰：置用过布一疋，以分母六通之，加分子一，共得 七。又以原布分母九通之，得六十三。另置原布二疋， 以分母九通之，加分子五，共得二十三疋。又以用过 布分母六通之，得一百三十八，内减去前六十三，馀 七十五为实。以两分母九六相乘，得五十四为法。除 之，得一疋。馀实二十一，法实皆三，约之，合问。

    通分

    通分者，通以分母，约以分子也。夫数之有尽者，不必 通也，若畸零之不尽者，使不通之，则何以置位而算 之乎？此通分之法所由立也。假如四分两之一者，则 二钱五分也，此所谓数之有尽者也。若三分两之一 者，三钱三分三釐，以至于三，三之无穷，此所谓数之 不尽者也，必须以分通之，乃可算也。不然，则畸零之 不尽，终无可置位矣。

    假如今有布四十五疋，每疋价三分两之二，问共该 银若干？

    答曰：“三十两。”

    法曰：置布四十五疋，以分之，二因之，得九十两，为实。 却以分母三为法，归之合问。

    《解题》曰：“三分两之二，即每疋六钱六分六釐而不能尽，故用约分之法也。”

    假如今有米三分石之二，每斗价银七分二釐，问共 该银若干？

    答曰：“四钱八分。”

    法曰：置银七分二釐，以每石十斗因之，得七钱二分， 又以分子之二因之，得一两四钱四分为实。却以分 母三为法，归之《合问》。〈按此法即异乘同除也〉

    假如今有商伙，论本分物俱得八分之七，至银百两， 问该若干？

    答曰：“八十七两五钱。”

    法曰：置银一百两，以子之七因之，如故。仍以分母八 为法，归之，合得。

    假如今有罗六十六疋九分疋之六，每疋价二两五 钱，问该银若干？

    答曰：“一百六十六两六钱、三分钱之二。”

    《法》曰：置六十六疋，以分母九通之，得五百九十四，加 分子六，共六百。以二两五钱因之，得一千五百。以分 母九为法，归之，得一百六十六两六钱三分钱之二。 假如今有米六分石之二，每斗价四分钱之三，问该 银若干？

    答曰：“二钱五分。”

    法曰：置分子石之二钱之三因之，得六两为实。以分 母六分、四分相乘，得二十四两为法，除之，得二钱五 分。合问。〈按此法即异乘同除也〉假如今有《缎》四十五疋、每疋价四两三分两之二，问 该银若干？

    答曰：“二百一十两。”

    法曰：置每疋价四两，以分母三两因之，得一十二两； 加入分子二两，共得一十四两。以乘总缎四十五，得 六百三十两为实。以分母三两为法除之，合问。 假如今有豆九石六斗六分斗之四，每石价银二钱 三分钱之一，问该银若干？

    答曰：“二两二钱、五分、九分钱之五。”

    《法》曰：先置每石价二钱，以分母三因之，得六，加纳子 之一，共得七钱。另置豆九石六斗，以分母六因之，得 五七六，加纳子之四，共得五十八；以七钱因之，得四 十两零六钱为实。却以分母六分、三分相因，得一十 八为法。除之不尽之数，一法实，皆折半而命之。

    差分。〈《衰》分意同。〉

    差分之法并来分，须要分数一分成，将此一分为之 实，以乘各数自均平。

    假如今有东西二邻共织丝绢，东邻四斤六两，西邻 三斤二两，共丝七斤八两，织绢二十一丈八尺，问各 该若干？

    答曰：“东邻一十二丈七尺一寸六分六釐，西邻九丈 零八寸三分三釐。”

    法曰：置总绢二十一丈八尺为实。以共丝七斤八两， 先将八两变化为五，就以七斤五为法除之，得二丈 九尺零六分六釐六毫六丝为法。另以东西各丝斤 数不动，将两减六，东六两变作三七五，西二两变作 一二五，并原斤为实乘之，合问。

    假如今有“元、亨、利、贞”四人，合本经营，元出本银二十 两，《亨》出本银三十两，利出本银四十两，《贞》出本银五 十两，共本一百四十两，至年终共得利银七十两，问 各该利银若干？

    答曰：元该利一十两，《亨》该利一十五两，利该利二十 两，贞该利二十五两。

    法曰：置利银七十两为实，以四人共本一百四十两 为法，除之，得五钱，为每两之利。就以此为法，以乘各 人原本，合问。

    假如今有甲、乙、丙三人合伙同商，因各人本银不齐， 前后付出：甲于正月付出本七十两，乙于四月付出 本八十两，丙于七月付出本九十两，三人共本二百 四十两，至年终得利七十两。问“各该利银若干？” 答曰：“甲该利二十八两，乙该利二十四两，丙该利一 十八两。”

    法曰：置利银七十两为实。另置甲本七十两，以十二 个月通之，得八百四十两。又置乙本八十两，以九个 月通之，得七百二十两。再置丙本九十两，以六个月 通之，得五百四十两。三共并，得二千一百两为法，除 实得三钱三分三釐三毫三丝，此乃是每月每两之 利也。就以此又为法，以乘甲通八百四十月，得利二 十八两；又乘乙，通七百二十月，得利二十四两；再乘 丙，通五百四十两，得利一十八两。《合问》。

    此是差分“乘而相并，除而又乘” 之法也。

    假如今有人借去银二百六十两，每年加三起息，今 有十个月，二十四日问该利银若干？

    答曰：“七十两零二钱。”

    法曰：先将二十四日用《三归》，得八数，在十月隔空一 位之下，再以十二月除之，得九数，如年以乘原本，得 二百三十四两为实，以每年加三为法，因之，《合问》。

    解曰：凡算年月日期，即与两求斤法减六同理。每斤一十六两，减六只作一数，每年十二月，每月三十日，故先用《三归》如月并月，后用十二除月如年，以乘各人原本合得。馀皆仿此。图式具左。

    定盘算日月为年式

    图

    假如今有赵、钱、孙、李四人同商，前后付出本银：赵一 于甲子年正月初九日付出本银三十两；钱二于乙 丑年四月十五日付出本银五十两；孙三于丙寅年 八月十八日付出本银七十两；李四于丁卯年十月 二十七日付出本银九十两。四共得本银二百四十 两，至戊长年终，共得利银一百二十两，问各该得利 “银若干？”

    答曰：“赵一该得利二十九两五钱五分○○一丝，钱 二该得利三十六两七钱一分一厘，孙三该得利三 十二两八钱○○三毫，李四该得利二十两零九钱 三分七釐五毫。”

    法曰：置利银一百二十两为实。另置各人年月日数， 照依前式归日。如月除月，如年次位之零，并年以乘 原本，合问赵一，计四年十一个月，二十一日先归日，后除月。又 原本通得一百四十九两二钱五分；钱二，计三年零 八个月，一十五日先归日，后除月。又原本通得一百 八十五两四钱一分六釐五毫。孙三，计二年零四个 月，一十二日先归日，后除月，又原本通得一百六十 五两六钱六分六釐六毫。李四计一年零二个月，零 三日先归日，后除月，又原本通得一百零五两七钱 五分。

    将四人年月日通得之数共并，得六百零六两零八 分三釐三毫为法，除实得一钱九分七釐九毫九丝， 即是每年每两之利也。就以此又为法，以乘各人通 得之数，《合问》。

    假如人借去银，每年每两加利二钱七分。今有一年 零三个月，二十日收还银三百六十二两四钱七分， 问本利各得若干？

    答曰：“本二百六十八两，利九十四两四钱七分。” 法曰：置还本利共银为实，另置年月日数，照依前式， 用三归二，十日得六六六六于三月之下位。并月再 以十二除之，得三月零五五五于一年之下位，另以 每年利二钱七分乘之，得每两利三钱五分二釐五 毫，加原本一两二，共为法，除实，得原本银二百六十 八两。再以每两利三钱五分二釐五毫乘之，得利九 十四两四钱七分。《合问》。

    假如原借本银一十五两，每月加利二分五釐，今有 六个月已还过银九两，除作本及利问本利各该若 干，仍存原本若干。

    答曰：除原本七两八钱二分六釐，该利－两一钱七 分四釐，仍存原本银七两一钱七分四釐，仍以原日 起利。

    法曰：置还银九两为实。另置六个月，以月利二分五 釐通之，得一钱五分，加原本一两，本利共一两一钱 五分为法。除实，得除本银七两八钱二分六釐。又以 通利一钱五分乘之，得利银一两一钱七分四釐，本 利共合九两之数。另将原本一十五两除还原本七 两八钱二分六釐，馀者仍存数也。

    异乘同除

    此法虽易知之术，其意至奥。或人用先除后乘之法， 若除之不尽，将何以乘之乎？此异乘同除，实为通变 之法也。

    歌曰

    《异乘同除》法何如，物卖钱来作例推。先下原钱乘这 物，却将原物法除之。将钱买物互乘取，百里千斤以 类推。算者留心能善用，一丝一忽不差池。

    假如原有米五石八斗四升，卖银四两三钱八分，今 只有米一石七斗二升，问该银若干？

    答曰：“一两二钱九分。”

    《法》曰：“置今有米一石七斗二升”，以原卖银四两三钱 八分乘之，得七两五钱三分三釐六毫为实，却以原 有米五石八斗四升为法，除之，合问。

    一法先用除而后乘。先置原价四两三钱八分，以原 米五石八斗四升为法。除之，得每石价银七钱五分。 又为法。以乘今米一石七斗二升亦得。

    此法虽易知之，恐愚拙者法则难于取价，须用“先乘后除” ，其法捷妙。

    异乘同除互换捷用法图

    异乘同除互换捷用法图

    歌曰

    此法有四隅，内有一隅空，异名斜乘了，同名“《兑》位除。”

    详此歌，则知“异名乘” 、“同名除” 也。

    假如原有小麦八斗六升，磨面六十四斤八两，今有 小麦三十五石四斗八升，问该面若干？ 答曰：“二千六百六十一斤。”

    法曰：置今麦三十五石四斗八升，以磨面六十四斤 半乘之，得二万二千八百八十四斤六，为实，以原麦 八斗六升为法，除之，合问。

    假如今有夏布四十五疋，欲换棉布，只云：“夏布三疋， 共价二钱，棉布七疋共价七钱五分”，问该换棉布若 干？

    答曰：“棉布二十八疋。”

    法曰：先置“今有夏布四十五疋”，以原夏布价二钱因 之，得九两，又以棉布七疋因之，得六十三疋，为实。以 夏布三疋因棉布价七钱五分得二两二钱五分为 法，除之，得棉布二十八疋。合问：

    假如原有麦三斗五升，磨面二十五斤。今欲用面一 百七十五斤，问该麦若干？

    答曰：“二石四斗五升。”

    法曰：“置原麦乘今用面”为实，以磨面二十五斤为法 除之，合问假如今有绫一百六十一疋，每七疋价银五两，问共 该银若干？

    答曰：“一百一十五两。”

    法曰：置总绫，以五两因之为实，以七疋为法，归之合 问。

    同乘异除歌

    此法买宝石珍珠大小块颗价用此。果品亦同。

    同《乘异除》法可识原物价相乘为实，今物除实求今 价，今价除实求今物。

    假如原有小珍珠五十颗重一两，价银一十二两；今 有大珍珠三十颗重一两，问该银若干？

    答曰：“二十两。”

    《法》曰：置原珠五十，以原价十二乘，得六百两为实。以 今珠三十颗除之，合问。

    异乘同乘法

    假如原每人一日织锦八尺二寸五分，今有五十六 人，共织二十七日，问织锦若干？

    答曰：“一千二百四十七丈四尺。”

    法曰：置五十六人，乘二十七日，得一千五百一十二 工；再以日织八尺二寸五分乘之，得一万二千四百 七十四尺，合问。

    异除同除法理

    假如今有客一十五人，住一十二日，共用米三石六 斗，问一客每日用米若干？

    答曰：“每日二升。”

    法曰：置米三石六斗为实。另以一十五人乘一十二 日，得一百八十人为法，除实得二升，合问。

    同乘同除法理

    假如原有鹅八只换鸡二十只；每鸡三十只换鸭九 十只；每鸭六十只换羊二只。今却有羊五只换鹅，问 该若干？

    答曰：“该鹅二十只。”

    法曰：用异乘、同乘之法，置原鹅八只，以乘原鸡三十 只，得二百四十只。又以原鸭六十只乘之，得鹅一万 四千四百只。再以今有羊五只乘之，得七万二千只， 为实。又用异除、同除之法，以所换鸡二十只，乘换 鸭九十只，得一千八百只；又以所换羊二只因之，得 羊三千六百只为法。除实，得鹅二十只。《合问》。

    指曰：“法应一除一乘，多有不尽之数。今变法总乘为实，总除为法，此术极妙。”

    倾煎论色

    假如今有“九二成”色银七两四钱八分，倾销足色银 问该若干？

    答曰：“足色银六两八钱八分一厘六毫。”

    法曰：置银为实，以九二色为法乘之，合问。

    假如今有足色纹银一十五两二钱换“九五”色银，问 该若干？

    答曰：“九五色银一十六两。”

    《法》曰：置纹银十五两二钱为实，以九五色为法，除之， 即得。

    假如今有“八五色银五两六钱”换“九五”色银，问该若 干？

    答曰：“该九五色银五两零一分零五毫。”

    法曰：置银五两六钱，以八五乘之，得四两七钱六分 为实，以九五为法，除之，合问。

    假如今有足色纹银七两六钱五分，倾出成色银九 两，问色几何？

    答曰：“八五色。”

    《法》曰：置纹银为实，以倾出色银九两为法，归之合问。 假如今有足色纹银三十五两二钱，欲倾八八色银， 问用铜若干？

    答曰：“铜四两八钱。”

    法曰：置纹银为实，以八八色为法除之，得色银四十 两，内减原银，馀四两八钱，是铜数也。《合问》：

    假如有铜七钱五分，今煎作八八色银。问“纹银若干？” 答曰：“纹银五两五钱。”

    法曰：置铜为实，以每两用铜一钱二分为法除之，得 八八色银六两二钱五分，于内减去原铜七钱五分， 馀得纹银合问。