钦定古今图书集成历象汇编历法典

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　历法总部汇考六十一

　　新法历书十一〈交食历指三〉

历法典第六十一卷

历法总部汇考六十一

《新法历书》十一。

交食历指三

《食限》第一。〈凡六章。〉

食限者，日月行两道，各推其经度，距交若干，为有食 之始也。而日与月不同，月食则太阴与地景相遇，两 周相切，以其两视半径较白道距黄道度，又以距度 推交周度定食限。若日食，则太阳与太阴相遇，虽两 周相切，其两视半径未可定两道之距度为有视差， 必以之相加而得距度。故特论半径，则日食之二径 “狭，月食之二径广。”论日食之限，反大于月食之限，以 视差也。

太阴食限

“表中地景半径最大者，先定四十七分；太阴半径最 大者，一十七分二十○秒，并得一度○四分二十○ 秒。日月两道之距”，在此数以内可有月食。〈可食者可不食也〉 以此距度推其相值之交，常得一十二度二十八分， 为月食限。推法最大距度。〈四度五十八分半〉与象限九十度， 若距度与交常之弧也。其最小者，地半景定四十三 分，月半径一十五分一十五秒，并得五十八分一十 五秒。若距度与之等者，依前法推交常度，得一十一 度一十六分。此限以内，月过景必有食也。〈必食者无不食也〉 抑此两者，皆论实望时之食限耳，若论平望，其限尤 宽。

如图甲乙为黄道，甲丙当白道，乙为地景心，丙为太 阴心月。切景在丁，其最大两半径为乙，丙得一度○。

图

四分二十○秒则相值之甲丙得一十二度二十八分为定望食限设平望尚在前为戊则戊平望距丙定望最远者二度三十八分有奇为丙戊弧以加甲丙弧得甲戊一十五度○六分有奇为太阴切景之时以其心距两交之度西

《古史》“《多禄》某，定实望之食限一十二度一十二分，中 望之食限一十五度一十二分，其所定视半径最小 之食限一十○度五十○分。”

何谓平望？距定望最远，得二度三十八分，曰太阳均 度最大者二度○三分一十五秒，太阴均度最大者 四度五十八分二十七秒，并得七度○一分四十二 秒，为两交时日月以实度相距极远之弧也。从此太 阴逐及于日行讫七度○二分，此时间太阳又自行 三十二分二十八秒，太阴又须逐及更行三十二分。

图

此时间太阳又行三分弱共为三十五分以加太阳均度得二度三十八分为日月之实会望距其中望也如上图甲乙为地心所出过本轮心直线至黄道乙指中会太阴实行在丙太阳实行在丁总丙丁弧七度○二分太阴行至丁

太阳已过丁而前又逐及之，终合于己，故《丁己》弧三 十五分加乙丁，共得乙己中实。两会相距二度三十 八分。

太阳食限

表中太阳之最大半径一十五分三十○秒，太阴之 最大半径一十七分二十○秒，并得三十二分五十 ○秒，所谓“二径折半”也。以此推相值之交，常为六度 四十○分，是太阳不论视差，不分南北，正居实会之 食限也。第日食不在天顶，即有高庳视差，太阴每偏 而在下，交会时以此差故，或就近于太阳，或移远随 地随时，各各不同，安得以实度遽定日食之限乎？测 太阴交食时最大高庳，差得一度○四分

因距远五十四地半径故。

减太阳之最大高庳差三分，馀一度○一分。

此为太阴偏南之极多者，凡日食时，必有一方能见其然，是为大地公共之最大差。

以加二径折半，得总视距度一度三十三分五十○ 秒外，此即无日食，在其内则可食。依前法求食限，得两交前后各一十八度五十○分，为两大视径折半 之限也。若以小半径求食限，与前差度并，得一度三 十一分有奇，推相值之交周度一十七度四十八分， 为小视径折半之日食限。若日月会入此限内者，日 必食，但非总大地能见，必有地能见耳。若以中会论 食限，又须加入实会距中会之度，其最大弧三度，则 中会有食之限二十馀度。如图甲乙为黄道，甲戊为 白道，太阴以实度在己，以视度在丙，太阳乙与太阴 丙视，相切于丁，则己丙为高庳差，己戊为东西差，而

图

丙戊为南北差南北差之最大者一度○一分以加乙丙为总距度乙戊若乙丙为大折半〈二径折半省曰折半〉推得甲戊食限，一十八度五十○分。或以小折半，乙丙加丙戊，得甲戊一十七度四十八分。设中会更在前，为辛，得食限，甲辛更多于

甲戊。

求北中界日食限

“北中界”者，地居赤道之北，南不至赤道，北不至北极 也。今依南方极出地十八度，北方极出地四十二度， 定日食之限，则最广者，太阴距南，其交常度七度三 十一分；太阴距北，其交常度一十七度三十五分，为 可食之限。最狭者，太阴距南交常七度，距北交常一 十六度五十三分，为必食之限。其所繇广狭者，因二 径折半，有大有小，即相会时所当距度不同，故所限 交周度亦异也。太阴分南北而定最大日食之限，有 二义：其一，论地总本界中有一方焉，距北之最大者， 以十七度为限。又有一方焉，距南之最大者，以七度 为限。非谓一方所见，距北可得十七，距南又可得七 也。其一，论黄道度，为本界中有地有时。太阴或南或 北，距天顶最远，则其视距度最大。以加于太阴实距 度，得其最大限。在北可至十七度，在南可得七度，亦 非谓诸宫交会，皆可得七度、十七度之限也。今试于 本界中论地，先论其极高四十度者；又于本地论时， 先论其不甚远于天顶者。如日月交会在夏至鹑首 宫初度，设当时不会“于正午，其高庳差变为南北差 者必少，而所增视距度亦少，即所得者不为其最大 限。”必设实会正午月距黄道北，得其高弧七十三度 二十八分。以推高庳差一十八分○八秒，全变为太 阴南北差。依法加于二径，折半，得五十○分五十八 秒，为黄白两道之视距度。则所值交周度得一十○ 度，为顺天府北极同高地黄道本度，月距北日食之 最大限，可食也。设月距南，则二径折半，共三十二分 五十○秒，反减太阴南北差一十八分○八秒，得两 道视距一十四分四十二秒，所值交周止二度五十 ○分，为本地本度，月距南日食之大限，可食也。次论 其甚远于天顶者，设日月在冬至星纪宫初度，会亦 正午，其高弧二十六度三十○分，推得高庳差，即南 北差五十六分二十四秒。加二径折半，得黄白两道 总距一度二十九分一十四秒，为月实距南所推最 大日可食之限，一十七度二十四分。所以然者，人目 所见日月，以两心合会，必在太阴所离视道交黄道。

图

之处距其两道实交尚一十一度又本南北差减二径折半得距度二十三分三十四秒相当者得四度三十二分为太阴尚不及实交未过黄道南而以视差故人目所见则已过交出日食限之外矣如图丙为太阴丁为太阳甲为黄

图

白两道之实交论实距度则日月至甲宜相掩而食今冬至南北差甚大太阴之视行循丙乙视道尚在己距甲远即己切太阳周入日食之限后太阳丁行黄道至乙与太阴视道相遇是为视交即二曜以两心合会能全食若更前至

辛，日月亦未及实。交甲，太阴实未过黄道。南而视行， 则已过太阳之南，即丙不能掩日，亦不能切日不食 矣。可见太阴实距北，在己为顺天府同纬地，最大，食 限得一十七度有奇，至辛遂出食限之外。况过甲而 后实距南，其视度距太阳甚远，安得尚有食乎？再于 木界中论地，论其极高一十八度者，先设日月在冬 至星纪宫初度，实会在正午，得高弧四十八度三十 ○分。《高庳差》全变为南北差，四十一分五十八秒，加 二径折半，总得两道相距一度一十四分四十八秒外此无日食在其内可食相值之食限，一十四度三 十二分，其食甚亦未至实交也。若行至实交，则太阴 以视度过交而南，四十一分五十八秒矣。以较二径 折半，则视距为大，不已出两食限之外乎？安得有食？ 设日月会于夏至鹑首宫初度，此在天顶北五度三 十○分，得高弧八十四度三十○分。推南北差，得六 分○八秒，以加二径折半，得三十八分五十八秒，为 《太阴入阳历》两道相距度。二曜至此，即以周相切，推 得日食限七度三十一分。若月“距北，则两半径”减南。

图

北差馀二十六分五十二秒仅得五度一十○分为日食限也如图地居夏至之南目视丙月则偏北故太阴之实度在黄道南为本道上之乙与太阳之实度丁甚相远却以南北视差移而就近及以甲乙为食限二曜相掩必未至甲

也。若其过实，交甲至己，在黄道北，则因南北差见月 更在北，与太阳相距更远，不复能相掩矣。

太阳、太阴越六月皆能再食。

越六月者，如寅月食申月得再食也。如左图，甲丙乙 丁为太阴离道，交黄道于甲于乙，甲丙乙为其距北 半圈，馀乙丁甲为距南半圈，己庚戊辛皆为食限。依 《多禄》某随迤北诸方所定中会时，甲己及乙戊入《阴 历》，为日食限二十○度四十一分。〈地愈向北食限愈大故也〉甲庚 及乙辛入《阳历》，得一十一度二十二分，则限外弧己。

图

丙戊得一百三十九度庚丁辛得一百五十七度一十六分越六月之中积交周一百八十四度有奇〈先去全周〉则大于己丙戊及庚丁辛两弧，故初月在食限内，与正交相近者，六月后则近中交，亦在食限内，而日能再食。若月食，不论《阴阳

历》，其限皆一十五度一十二分，则己丙戊弧、庚丁辛 弧皆一百四十九度三十六分，皆小于中积交周度。 故初月交周度入己甲庚食限内，后六月又在戊乙 辛食限内，而月能再食。

太阴越五月，能再食，越七月不再食。

以距月之中积交周度，与初月食限外之弧相比，若 度赢者，则此食限内能起，彼食限内能止，即两皆有 食。若度缩者，则一起一止，或在两食限之外，不再食 矣。如五平月，交周得一百五十三度二十一分。〈去全周己〉 月食于高庳中处，其实限一十一度三十○分南北 同。得限外无食之弧，一百五十七度亦南北同，是皆 大于交周。弧则五平月中，不可得两食矣。亦有可两 食者，则大月也。太阳躔赤道南，在其最庳，左右，必速。 行同时。太阴去全周在其最高，迟行必得定朔策少 月大，交周弧亦大。夫五月之平朔，策去太阴全周得 一百四十五度三十二分中分之左右并得太阳均 度四度三十八分。又太阴五月自行一百二十九度 ○五分中分之，以最大加减，得其并均度八度四十。

图

○分太阳均度应加

实度距最庳左右比平度远故

太阴均度应减

设月逐日实未追及故

得日月以实行相距总弧一十三度一十八分为月逐日未及之弧如图太阳从秋向春行本天小半周

“以当黄道正半周，必速行。”以甲乙直线中分其平行， 左右各得丙丁均度。太阴在本轮，自戊过最高辛至 己迟行，以甲辛平分其迟行弧左右得壬辛及庚辛 均度。日月两均度不同类，一加一减，并之得一十三 度一十八分为太阳。以实行在前太阴以实行在后 之弧，而太阴逐太阳行一十三度，此时间太阳更行 一度○六分，以并于太阳均度，总得五度四十四分， 为五大月。过五平月之度，亦为实交周。过平交周之 度，以加平交周一百五十三度二十一分，得一百五。

图

十九度○五分较食限外之弧赢二度○五分则月食于甲乙限内为壬距乙甚近而限外交周度壬庚越五月复可食于庚然食之分数少矣又证太阴越七月不能复食者则小月也月大或平即交周弧大于食限外之弧不可得食

图

今太阳在其最高左右迟行太阴在其本轮最庳左右速行因而成小月夫七月之平朔策得二百○三度四十五分同时太阴自行一百八十○度四十三分如图甲乙分日月平行甲辛分太阴自行太阳左右各得最大均度丙丁并

为四度四十二分，应减。

实度距最高，左右比平度近故。

太阴均度，壬辛及庚辛并为九度五十八分，应加。〈设月 以实行过太阳故〉一加一减并两均度，得一十四度四十○ 分，为太阴过太阳之弧。此时间太阳亦行一度一十 分，以加其均度，得五度五十五分，是为七小月间实 行。不及其平行之度，又为七月间交周平行之弧所 减，以成七小月实行之度。今以平行二百一十四度 四十二分，去减五度五十五分，得二百○八度四十。

图

七分以加于食限外之弧

此第论太阴在其高庳中处甲丙左右四食限

为戊乙壬或己庚丁仅得二百○三度小于七小月之实交周二百○八度有奇则月初食在戊丁限内后七月不能于己壬限内再食也

图

太阳越五月或七月皆能再食

此越五月能再食者必大月也其间交周实行可得一百五十九度○五分设日月在高庳中处得二径折半三十二分二十○秒设太阴距度亦正得三十二分二十○秒则以前法

求得距交六度一十二分，当在乙或在丁，而乙丙丁 弧乃得一百六十七度三十六分。若太阴绝无视差 者，即食限外之弧乙丙丁大于实交周弧八度三十 一分。日月合会，先在甲乙弧内有食，越五大月复会， 必不能及丁戊为再食矣。然太阴既有南北视差，则 以交周度不及食限内之弧八度三十一分平分之 两，加于食限，得甲己及戊辛各一十○度二十八分。 而太阴在己或在辛，皆距黄道五十四分三十○秒。 减二径折半，馀视差二十二分三十○秒。倍之，得己 及辛，两视差共四十五分。则诸方能得南北差及此 分者，所见太阴必偏南下掩太阳，得有食也。今所论 五大月，太阳速行，先于太阴一十三度一十八分。又 于太阴逐及时间，行一度○六分，总得一十四度二 十四分。太阴行尽此度乃及日，须一日○九刻，是为 五大月。过五平月时刻，则五大月得一百四十八日 一十八小时。故先定朔在酉正，后必在午正。若先在 午，则后在卯。又太阳五大月行一百五十一度，以最 庳平分左右，得先定朔在寿星宫二十一度；次定朔。

图

在娵訾宫二十一度诸方地面得极高二十馀度见太阴离是二壤值是二时南北视差并得四十五分则越五月得再食此外极出地愈高南北差愈大食限愈宽凡交周在黄道北入甲己食限越五大月必入辛戊食限人居赤道北

图

者可见两食或交周在黄道南入戊壬食限越五大月必入庚甲食限人居赤道南者可见两食

谓太阳越七月而再食则小月也否则交周度大于正交及中交之总食限而先在内后必在外不食矣若七小月间交周行依前

得二百○八度四十七分。而设无南北差者，则以日 月两半径为食限，得甲乙及戊丁各六度一十二分。 而总乙己丁弧一百九十二度二十四分，小于交周 一十六度二十三分。即太阳先食于丁戊限内，越七 月后，必己出甲乙限外，亦不食也。既常有南北视差， 则以较馀交周弧一十六度二十三分平分之，以加 于甲乙及戊丁，得甲壬及戊癸二限，各一十四度二 十三分，而壬己癸与交周弧相等。又甲壬及戊癸一 十四度二十三分，得相值之距度，一度一十三分三十八秒。减二径折半，得四十一分一十八秒，为各视 差。倍之，得一度二十三分，则诸方有此视差者，得有 食也。今所论七小月，太阳迟行后于太阴，共一十四 度四十○分，为太阴一日五小时所行之弧。是一日 五小时者七小月，不及七平月之时刻也。总七小月， 得二百○五日一十二小时，故越七月得再会，先会 在卯，后会必在酉。又太阳行七小月，实得一百九十 八度。〈前已证〉从最高平分之，得先会太阴在娵訾宫二 十七度，后会在寿星宫一十五度，则凡离是二壤，值 是二时，所见太阴南北视差并得一度二十三分者， 必越七月得再见日食也。此为极出地三十四度以 上。盖距赤道愈远，视差愈大，所见食分愈多矣。

《食分》第二。〈凡四章。〉

欲知此月内有无交食，则以《食限》求之。〈见上文〉“欲知此 食，食分几何，则以距度求之。”距度者，在月食为太阴 心实，距地景之心，两心愈相近，月食分愈多，在日食 为日月两心。以视度相距，其近其远，皆以目视为准， 不依实推。盖定朔为实，交会天下所同，而人见日食， 东西南北各异，所以然者，皆视度所为也。日食详说 见后篇。此先解月食分，则论定望实会人所见者，东 西九服各异，南北《天下不殊》也。如左：

太阴食甚分数

太阴在食限内过地景，其两心最相近时为食甚，而 食分必多。欲知食甚之处，用距度求之，盖距度与地 半景及月半径相减，得月入景之分。

此言“分” 者，天周度数之分，非平分月径之分也。称分有二类，见下二文。

如两半径得一度，距度四十○分相减，馀二十分，为 所求月入景之分也。但距度与半景或等或不等，若 过不及之分小于月半径，则月不全入景，而止食其 半或太半或少半而已。若距度小于半景者，为太阴 之正半径，则虽全食，随复生光，其食分即太阴之全 径。以月自行推之，若绝无距度，即太阴遇景正在两 交，则并其两半径，可推月食之分也。

假如甲乙为地景。

《定》望时月入此则失光，亦名“暗虚。”

图

之半径乙丙为太阴半径总得甲丙为月食限限者乙点为二周相切之处食从乙点起渐入渐大若两周相分于乙点则不食也食有三等一曰不全食二曰全食三曰正食不全食者如一图甲丁为黄道丁辛当白道月心在辛即入

图

景者半是为半食或月心在庚则如二图入景者大半是为大半食或在戊则入景者少半为少半食皆不全食也求食分法以距度减二径折半如图甲己与甲丙等为二径折半甲戊为距度以甲戊减甲己馀戊己戊己与辛庚恒相

图

等故于二半径减距度即得其入景辛庚为此食之分也全食者如三图月心在戊距度甲戊两道如前而距度入于半景者为太阴之半径戊己则己庚入景之分为全径但全入以后太阴或向交行欲至丁或离交行欲至辛其周旋出景外则无既内分矣

图

以上二者皆有距度则皆不食于交点皆偏食也若第四图太阴食甚时绝无距度则月心与景心皆会于甲甲乙为半景径甲戊为半月径两半径并为甲丙设甲乙丙为黄道甲丁为白道太阴从丁行以戊

边至甲己，全入于丁甲半景之内矣。又行至边及戊， 乃食甚，故更得甲、戊为既内分，总得丁、戊两半，径并 为此食之分。此月食之最大，食于交点者也，正食也。

食分二类

求食分之大几何，有二类：其一为天周度数之分，如 上文所论者皆是也。月食之最大者，可得一度○四 分有奇。其一为太阴本径之分，则惟历家所命。如命 月体之全径为十二平分，则最大食得二十二分五 十四秒也；如命为十平分，则最大食得一十九分○五秒也。又此二类者，皆系太阴及地景之视径，虽距 度同分，而大小多寡，犹多变易。设距度恒为二十五 分，因太阴自行在最高，得月食度数之分为三十三 分一十五秒；太阴在最庳，得食度数分为三十九分 二十○秒。其自行在一宫或在一十一宫。〈俱近最高〉得三 十三分三十八秒。在二或十宫，得三十四分三十六 秒。在三或九宫，得三十六分。在四或八宫，得三十七 分三十○秒，在五或七宫。〈俱近最庳〉得三十八分四十五 秒。如前法，以太阴半径半景并，每去减二十五分，即 得此食分之数。他距度依此推之，其所繇渐渐有差 者，则因太阴距其最高，愈远即视径愈大故也。又平 分本径亦有多寡，有大小。盖太阴在最庳，其全体之 天度分为三十四分四十○秒，得平径一十○分。设 食甚正在交点，无距度，则二径折半，得天度一度○ 四分二十○秒。推总食之平径分，得一十八分三十 四秒而一，平径分当天度三分二十八秒。又设太阴 在高庳之中，食甚距度如前，其平径亦一十○分。以 两半径推总食，得一十八分四十四秒而一，平径分 当天度三分一十五秒。与前不同，则以视径，故更设 太阴在最高，其视径更小，仅得天度三十○分三十 ○秒。食甚在交皆如前，亦得平径一十○分。而所推 总食分更多于前，为一十九分○五秒，则一平径分 当天度三分○三秒。可见距度同、平分径同而食分 不同者，月自行有高庳，其去地之远近异，视径亦异 故也。

求月食径分

“太阴入景”，以本径分明暗之限，为人目所见之分。若

图

全食更加入景之馀分〈即既内分〉推得总食分，则距度能翕张其二径，为食分多寡之缘也。今或依第三卷所定《太阴及地景视径表》，用引数求之，并而去减其距度，则太阴视径与十平分。若其二半径减距度之馀分与食分，或依第二卷前。

图

所设求太阴均度之图用甲乙丁三角形求之盖乙甲丁太阴均度角之正弦与乙丁直线若甲乙丁总自行馀弧角之正弦与甲丁直线既得甲丁为太阴距地远次求太阴视径则其距地远甲丙与太阴实径之正弦丁乙若全数与

丁丙乙角之切线，次以太阴半径与地半景大小之 比例，为一五○与四○三。推地景视半径。盖一五○ 与四○三，若太阴视半径之正弦，与景视半径之正 弦也。既得视半径，用三率法，如前推算食分。欲用表， 则于引数查视半径，而以月视径及两半径减距度 之馀数查食分。然表中列数，从引数出，其理一也。

求月食面积分

前论“月食分”，皆目可见、器可测之视径分也，若求其 不全食之面，入景之分，则有别法。设甲为地景之心。

图

乙为太阴之心以距度得其两心相距为甲乙直线又先得甲丙为地景视半径得乙丙为太阴视半径则甲乙丙三角形内有其三直线可求三角又甲乙丁三角形与甲乙丙三角形等则以丙甲丁总角得丙戊丁弧亦以丙乙丁总

图

角得丙己丁弧今欲以径与圈之比例推丙戊丁及丙己丁两弧与其本圈半径同类之分若干

弧曲线与直线异类以周径法变曲线分为直线分故曰同类

其法以甲丙及丙戊得景中丙甲丁两半径弧形

两半径弧形者，两半径为两，腰弧为底，求得其容积也，说见《测量全义》第三卷。

亦以乙丁及丁己得月上丙乙丁两半径弧形。又丙 丁直线为等腰两三角形之公底线。求其半，得丙辛； 以乘甲辛，得甲丙丁三角形之积；以乘乙辛，得乙丙 丁三角形之积。次以两三角形之积，各减其两半径 弧形之积，所馀丙戊丁己长圆形，为太阴入景之面， 可得其馀不入景之面也。

假如崇祯五年壬申九月十四日夜望，月食四分四

图

十二秒食甚太阴距度四十四分其视半径一十六分二十五秒地半景四十三分二十三秒设甲乙为距度乙丙为月半径甲丙为景半径则最大线甲乙与馀两腰线甲丙丙乙若两腰线相减之馀线甲丁与大线之分也即算得大

图

线之分甲戊以其馀平分之为戊辛辛乙次从丙作丙辛必为甲乙之垂线矣既得各线如图皆通为秒以求甲角及乙角则甲辛与全数十万若甲丙与丙甲辛角之割线算得甲角二十一度四十○分倍之得四十三度二十○分为

丙戊丁地景之弧。又辛乙与全数，若乙丙与辛乙丙 角之割线，算，得乙角七十七度○六分，倍之得一百 五十四度一十二分，为丁己丙太阴周之弧。次求其 各与本圈半径同类之分，则月径及地景径各与其 本周若七分与二十二分也。推得地景周一六三六 一，月周六一九一。因此用丙戊丁及丙己丁两弧，各 求其本圈径同类之分，则全周一六三六一，与所截 丙戊丁弧之分。若全周三百六十度，与本截弧四十 三度二十○分算得一九六九，为丙戊丁弧，其半九。

图

八四为丙戊半弧也又太阴全周之分六一九一与丙己丁弧之分亦若三百六十度与本截弧一百五十四度一十二分算得二六五一为丁己丙弧半之得一三二五为丙己半弧也次以甲戊乘丙戊得丙甲丁地景两半径弧形之

图

积二五六一三五二以乙己乘丙巳得丙乙丁太阴两半径弧形之积又丙甲辛角之切线〈乙丙也〉与丙辛若全数，〈甲丙也〉与甲辛，得丙辛九六○，则彼此求两等边起线三角形之积与求两半径弧形之积，通为一法，得甲丙丁三角形之积

二三二二二四○，乙丙丁三角形之积二一一二○ ○，各减其两半径弧形之积，得丙辛丁戊分圈形之 积二三九一一二，丙己丁辛一○九三九二五，并之 得总数一三三三○三七，即丙己丁戊全形之积也。 又以太阴半径九八五，乘其半周，三○九得三○四 八五七五，与总数比，得太阴入景之面与其未食之 面，若一十三分与三十○分也。

食甚前后时刻第三。〈凡三章。〉

食甚前，初亏也；食甚后，复圆也。两限间之时刻多寡， 其缘有三：一在太阴本时距度，因距度或多或寡，每 食不同，即太阴入景浅深不同，浅则时刻必少，深则 时刻必多。其二，在月及景两视，半径，半径小，太阴过 之，所须时刻少；半径大，太阴过之，所须时刻多。其三 在太阴自行，自行有时速，有时迟。虽则距度同、视径 同，而自行迟疾不同，即所须时刻不同矣。推距度及 视径，皆依前所设法，此专求太阴实行，以定食时刻 分。

月食起复行度

图

太阴入景自初亏至食甚之弧与其出景自食甚至复圆之弧两者略相等故求其一倍之得在景之总弧如图甲为景心躔甲乙黄道乙丙为白道太阴心至丁为初亏在丙为食甚复圆在戊丁戊者天周之弧也而所截弧极小故作

图

直线用之又甲乙丙三角形也而乙角极小乙丙与乙甲略等故作平行线用之因而甲丙可为垂线因而丁丙与丙戊亦可为等今自甲出两直线为甲丁为甲戊皆当太阴地景之两半径而甲丙为太阴距度故甲丁戌三角形以甲

丁方，减甲丙方，得甲丁方，其根为太阴初亏至食甚

行过太阳之弧。若不用开方，则有别法。以角求对边 线，如甲丁线与丙直角，若甲丙线与甲丁丙角，既得 丁角，馀为丁甲丙角，则丙直角与甲丁线，若甲角与 月行景之半线丙丁也。虽食分不同，或半月入景，或 全体在景。求初亏至食甚之弧，恒仿此。次求食既至 食甚亦仿此。倍之，得太阴全入景至生光及复圆之 总弧。如左图甲乙为黄道，乙丙为白道。太阴心行至 丁则全入景，既至戊即生光，得丙丁及丙戊略相等。

图

故先得丙丁倍之即丁戊也此则以甲丙为距度甲丁为地半景减月半径之馀于甲丙丁三角形用此两线及甲丙丁直角推丙丁线与前同法若欲精求之不听甲乙乙丙为平行仍作两线斜交于乙太阴初亏在丁食甚在丙复圆

图

在戊丙丁是太阴在景之半为距交一十二分之一即作丁庚线与甲乙平行取丙庚亦丙甲距度一十二分之一以减甲丙得甲庚是太阴初亏之距度以加甲丙得甲己是太阴复圆之距度次以甲丁甲庚两线及庚直角求得庚丁

线以庚丁庚丙两线及庚直角，求得丙丁线，为初亏 至食甚行度。后以甲己、甲戊两线及己直角，求得戊 己线，以戊己己丙两线及己直角，求得丙戊线，为食 甚至复圆行度也。

食甚距度线与白道，当为“垂线。”

求食时刻设太阴食甚前行度与食甚后行度等，即 距度线必当为白道之垂线，不然者，必行度前后不 等，而时刻亦不等。如左图甲乙为白道，甲丙为黄道， 太阴在丁，自庚黄极出线，过丁月为庚丁弧至戊黄。

图

道指太阴实度在戊因太阴在丁得交常分甲丁而庚丁与庚乙若甲丁与甲戊〈皆用正弦算〉若得甲丁四十五度，与甲戊最差之限，得六分。

甲戊少于甲丁在图为己丁

若甲丁在食限内其与甲

戊，差又不及三分矣，因两道之最大距不过五度故 也。设甲丁弧得二十○度，而以甲乙与乙丙之比例， 推甲丁与丁戊，得丁戊距度一度四十二分。今作戊 己与甲乙为垂线，又以甲丙与丙乙之比例，推甲戊 与戊己，亦得戊己相距一度四十二分。可见丁与己 见有差，戊己与戊丁有微差，不足见也。今不用戊丁 开方，而用戊己，又以戊己平分太阴入景与出景之 弧，其不得有差甚明矣。

太阴食在景时刻

前第二卷论月食以食甚时为主，于食甚前之初亏， 至食甚后之复圆，总推定时刻分秒。其法以太阴在 景中行度变为时刻，如先得食甚前行度，求所当初 亏至食甚时刻，倍之得其馀行度，亦变时刻。皆依先 所定行度，用比例法推算也。如崇祯五年壬申三月 望，太阴初亏至食甚，行四十○分一十六秒，欲变时， 用三率法。太阴行三十三分一十一秒，得一小时。今 四十○分一十六秒，应得一时一十二分四十三秒。 但太阴自行恒异平行，食时间恒不居本轮之一处， 故所用一小时之行分，以定食间行之时，不得用平 行，必须考将食之实行。查太阴实行时表法恒以自 行宫度得一小时之实行，每度所值，各各不同。如太 阴平行一时，得三十○分二十九秒。以本时自行求 均度，或加或减于平行，得实行。若加减度表对自行 初宫三十二分四十○秒，得均度二分四十六秒；以 减三十○分二十九秒，得二十七分四十三秒，为表 中相当引数初宫初度之率也。加减度表对自行一 宫三十二分四十○秒，得均度二分二十五秒。以减 一小时之平行，馀二十八分○四秒为相当引数一 宫及一十一宫之率也。其馀皆仿此。第自行在本轮 最高左右，必减均度，得一时之实行；在最庳左右，必 加均度，得一时之实行耳。

既以实行推定总时刻，则以食既至食甚之时，减先 定食甚时刻分秒，得食既时刻分秒。以相加，得生光 时刻分秒。又以减食甚前总时，得初亏。以相加，得复 圆。又以初亏减复圆，得总食之时刻分秒。若初亏在 子时前，复圆在子时后，则即以丑初为十三时{{Annotation|，午正起算 〈用小时〉丑正为十四时，如是接续减之。

《交食图义》第四。〈凡三章。〉

求日月失光之面向何方位，则有两缘，其一从太阴 距黄道度作大圈，令过太阴、太阳两心。〈此日食也〉或“太阴” 与“地景”两心。〈此月食也〉下至地平，周遭移指交食所向之 方也。其二黄道斜交于地平，日月随之行，遇食必有 时向东南、西北，有时向东北、西南也。欲绘《交食图》，必 先察日月所向，起复方位。第旧法祗以阴阳二历分 别南北，殊粗率。今法必可得其度分，颇为繁细耳。

图

距度变日月食所向方位

太阴食起复之间以本行屡迁其度分即作过两心〈月心地景心也〉“大圈至地平时刻各异，所向方位亦时刻各异。欲尽推之，其多无数，故当求其初亏。”食既、食甚，生光复圆，五向而止，如《图甲》。

图

为地景心甲乙为黄道戊丙为白道两道之大距不远故作平行线论初亏太阴在丙食既在丁食甚在戊即甲丙甲丁甲戊皆过月地景两心之弧因太阴渐近于地景心甲其距度远近渐次不同而乙甲丙角乙甲丁角乙甲戊角之

小大亦不同，则太阴所向地平之方位度分亦不同， 故恒以本距度推本角。如甲丙初亏之距，为半景月 半径，并之甲丁食既之距，为半景减半月径之甲戊 食甚，则为太阴之正距度也。甲戊丁角可当直角，不 论其甲戊线与甲丙戊对角，若甲丙线与丁戊甲直 角，得甲丙戊角与乙甲丙角相等。〈乙甲丙为所求〉又“甲丁戊 三角形”，依此法推甲丁戊角与乙甲丁角。〈此为所求〉“相等 而食甚乙”，甲戊为直角，故在甲。诸角“其线不等，即所 向方位不等。”论日食，则甲丙为日月两半径，甲戊为

图

太阴距太阳食甚之视度以求甲丙戊角向下皆同前法今更作图甲为景心乙丙为黄道若太阴初亏在乙其入景之面必正向东若复圆在丙

初亏在乙复圆必不在丙故曰若指他食也

其出景之面必正向西皆

无距度，故若其距北在丁或在戊，即入景之面向东 南或西南；若其距南或在己或在庚，即入景之面向 东北或西北也。论日食，设甲为太阳心，其理同此，但 出入之面所向，与月食所向正相反，此为异耳。

《黄道出没变》日月食所向方位：

黄赤两道之两交切地平。若一在正卯，一在正酉，不 偏南北，即诸方俱无阔度矣。外此或黄道距南，或距 北，其距渐多，其出没之阔度，去离卯酉亦渐多。又南 北极愈高，其相离更远。如北极出地三十六度，黄道 度去离春秋分或南或北一宫，其阔度左右各一十 四度一十五分。若去离二宫则更远，其阔度各二十 五度一十三分，最远者得二十九度二十九分。若北 极出地四十度，即一宫得阔度一十五度○四分，二 宫得二十六度四十五分，最远则三十一度一十九 分也。太阴既随黄道行，其食也亦必依其阔度，则起 复之所向方位，太阴亦必依阔度之左右也。今欲定 其多寡如左图：南西北东为地平圈，丁甲戊为黄道 食时，得阔度。戊距正东若干，太阴心在丙，景心在甲。

图

过两心之庚甲己大圈指己因戊黄道度距正东远己随之距正东亦远而丙月之初入景所向为己也今求东己弧先设辛为天顶出高庳弧过甲至壬为顶极圈又作一癸午弧与甲庚为直角次甲乙丙小三角刑有乙丙距度有甲

丙两半径有甲乙丙直角，依比例推得甲角。次以食 时及甲景所躔黄道度，得戊甲辛角，即得。其馀辛甲 乙角。又得辛甲乙所分之辛甲午角。〈减乙甲丙小角〉次甲辛 午三角形，有甲角，有午直角。又以北极高及黄道距 赤度，得甲辛弧。可推得辛午线。以加辛癸象限，得午 癸总弧，为午己癸角，其馀角为甲己壬也。而己甲壬 为辛甲午之对角，甲壬为辛甲之馀弧，因可推壬己 弧。又戊甲壬三角形有原，推之甲戊，有甲壬戊直角， 有乙甲辛相对之壬甲戊角，因可推壬戊弧。去减先得之壬己馀，己戊为所求太阴初入景所向东南维 之地平经度；以加初所得东戊弧，则得东己总弧。

月食图

《西历》恒推日月食所向方位，以其所亏及复圆距度 作图，求距度食甚前与食甚后。为一法，以太阴自初 亏至食甚之实行，加入太阳同时所行分秒，得太阴 初亏至食甚在景之总分。以加前所定食甚交常度， 得复圆交常度；以减，得初亏交常度。次求初亏距度， 则全数与其交常度若黄白之大距度与其距度。求 复圆距度仿此。

假如崇祯五年壬申三月望，太阴初亏至食甚景中 行过太阳四十○分一十六秒，为时四刻一十二分 四十三秒，同时太阳行二分五十七秒；以加前行，得 四十三分一十三秒，为太阴在景之总行。其食甚交 常度，为过中交八度三十五分五十八秒；以加太阴 总行四十三分一十三秒，得复圆交常度一十○度 一十九分一十一秒。其正弦一七九一四。以减。得初 亏交常度，七度五十二分四十五秒。其正弦一三七。

图

一○算得太阴初亏距度四十一分复圆四十九分三十○秒若用表以时分查太阳本行以交常度查太阴距度更易得矣欲依本食作图其外大圈之半径为月半径地半景并得一度○四分三十二秒

图

量用比例规或先平分一直线

内取食时所得地半景

此为四十六分三十五

秒

作内圈以当景次查距度此食在南初亏四十一分复圆四十九分得太阴初在乙后在丁食甚亦依其

距度在丙，为食之定分。图上下左右书四方，其起复 所向方位，必与天合也。〈以上原本历指卷十二交食之四〉

《视差》以人目为主第一。〈凡四章。〉

前言“实会”、“中会”、视时、食限等，皆日月食之公法也，是 皆准于地心。今再论月食生于地景，景生于日，故天 上之实食，即人所见之视食，无二食也。日食不然，有 天上之实食，有人所见之视食，其食分之有无多寡， 加时之早晚先后，各各不同，推步日食，难于太阴者 以此。其推算视食，则依人目与地面为准。

视会

“凡交会者必参相直，不参直不相掩也。”日之有实食 也，地心与月与日参，居一线之上也。其有视食也，人 目与月与日参，居一线之上也。人目居地面之上，与 地心相距之差，为大地之半径。则所见日食与实食 恒偏左偏右，分为两直线，各至于宗动天，其所指不 得同度分，是生视差。而人目所参对之线，不得为实 会，而特为“视会。”

如左图，甲为地心，乙为地面，丙为天顶，若丁为日戊。

图

为月即在甲丙一直线上则实会即为视会因地心与人目无分线故也若日在辛必月至壬方与地面乙作一线为视会矣若月至己与地心甲作一线则实会也今言交食惟以目见为凭故日食全论视会若所居地面不同即食分

图

多寡加时早晏亦随之异也又视会实会在日月本天皆无度分可指而全依宗动天之黄道圈度分则此实会线所指谓之实度视会线所指谓之视度如图甲辛线所指为黄道之庚则庚为太阳之实度若乙目视辛日至黄道癸视

“己月至黄道午”，则癸为太阳之视度，午为太阴之视 度也。

《日月目见之度，非实度》。

譬之画图者，作平圆形，则一举手一运规即得矣。若 欲为螺旋线，先须依法作识，又依法作线，乃成形焉。 测天之法，亦犹是耳。今欲知日月躔离，东西南北，亦 转仪窥表，一览可知。若欲定其本行所在，则非聊一 寓目，遽能得之，必先后累测度分，展转较勘，乃可定 也。假令目居地之中心，〈地之心即宗动天之心〉“极目所见，则有恒星，以当彼界，两界中间，有日月五星，是名七曜。七 曜相视，有远有近，无有同者。”即论一曜，亦各时远时 近，无时同者，是则目所能见也。然因目所见，得其视 度于彼界，因以视度测其与某恒星相距若干度分， 因以是度推其实与地相距若干远近，则可，谓即目 所见，遂得其实。行能分别其去地远近则不可。何者？ 《七政》诸本天虽居恒星天之内，乃不见火、木、土等内 天之星，以本体能掩最外之恒星，则何从辨其内外 远近乎？又目所见者，太阴太阳二体相若，何从知其 内外之相距绝远，二体之小大绝不相等乎？内天之 两星，参对于外天之两经星，目见之，能知外者之两 相距甚远，内者之两相距不甚远乎？是三者皆目力 难凭之效也。或曰：“是则然矣。测量之法，皆凭目所见 也，则可废乎？”曰：何可废也？惟测内天之星，得彼界所 指之点，以为即在恒星之天，聊可得之矣。何者？凡用 在界之弧，以测其辏心之角，无弗真者。目测恒星之 天，其在地面与其在地心也，无以异。

《地居恒星》天中止当一点。

若测内天诸曜，目虽不在地心，相距亦不甚远。故测 日月五星，于彼界上得点，即与实度相近。

曰：“聊可得之” ，曰“距，不甚远，曰近。” 其实度皆因有地半径视差故。

但恒星有时不见，或与内天诸曜不相值，故历家以 “地平”代恒星，更用远视之器以助目力，得日、月五星 之视度分。依法推步，乃正得其实度分矣。

人视差

两目。�《存》，不惟相助以为明，相代以备患，亦能彼此 互用以察物之远近。盖各以其心。〈目睛最中之一点为心〉受外 物之象。其过心之两直线，至物体则相遇为两腰，两 睛心自相距为底，成三角形。因以其比例之大小，别 物距目之远近，是谓“目差。”缘此可推，天上之视差，以 小喻大，其理一也。若物大远于人目，则底线极小，两 腰极长，是过睛心之两径线，与平行无异，正如地球 比恒星天之高，特以一点为底，视差无所繇生矣。 如左图两目之心为甲为乙。目所视之物为丙。若甲 乙线。可比于甲丙线。〈可比者不甚远则有比例〉则两戊己径线渐。

图

相就如己而相遇于丙若物更相近为丁则两径速相就为辛庚

甲乙丙及甲乙丁两三角形皆等边又同一底线则丁角大于丙角而丁甲乙角必小于丙甲乙角

而两目之光线皆从己敛

向于庚，自觉所视之物变远为近矣。若物与目相去 甚远，则无比例者，因两径绝难相就，绝难相遇故也。 今借此理明视差之公理。如本图设丁物之前，有横 堵为壬癸，令甲目独视丁物，则所见若在壬，令乙目 独视丁，则所见反在癸，而丁前丁后两交角，形必相 似，即丁物亦不远于壬，不远于癸。盖视之目分两线 为交角，即能分本物之远近也。若不能分两线，即不 能分远近。

地半径差

《目视星》欲辨六曜。〈月五星也〉恒星之内，势不能也。则当 借地体之大，补目力之不及。法用地半径为底，以推 测量所指之界，即可得七政远近上下，各居本天之 实处。如左图甲乙两目相距为底则二寸耳。今以两 地相距数千里或数里当之以为底，如甲为顺天府， 乙为广州府，丁为太阴，两人同测之，一在甲，一在乙， 因此大底之远近，比于各距太阴之两腰，得大小之 比例。则甲丁及乙丁两直线，必觉彼此相就，以趋于 丁矣。再使壬癸为列宿天之两恒星。

图

或壬癸为太阳之全体壬当其南周癸当其北周

测者一从甲见太阴丁若在壬以本体合于一星之体

或太阴之南周齐太阳之南周

一从乙测太阴反在癸转

图

就北以合于他星〈或太阳之北周〉若《甲乙》两测之距愈相远，即所见丁月两指之极高亦愈相远。

一偏南一偏北东西亦同

而人在甲能见太阴掩日为日食人在乙即不可得见矣以此壬癸当宗动天

上之《弧正》所谓“视差”，与前言目见之“小视差”，其理一

也。第两人相距千里万里，同时并测太阴，其势甚难， 故立别法代之。

详见本书第六卷，下文略言之。

假令人正居地心，推其所得太阴距天顶应若干度 分，又同时居地面者，实测太阴距天顶得若干度分。 两度之差，即所谓“视差”也。如图甲乙丙为地球，丁为 天顶，甲戊丁直线所至也。若太阴在此线左右为己， 从甲地心测月，见之当在庚；自地面乙测之，乃在辛。

图

则先推定丁甲庚角或所当之丁庚弧后推丁乙辛角或所当之丁辛弧

乙距甲与乙距丁无比例甲乙至小故

以两角或两弧相减得视差之弧庚辛

问一星距天顶测其宗动天上所指度分在地心测

图

之则距近在地面测之则距远若论角则地面之乙角大于地心之甲角何以证之其故何也曰因其一远一近如图太阴在本天其距顶之弧为己戊己戊之距地心甲与其距地面乙远近之差则目所能识也所能分也

图

因地之半径与月本天之半径有比例故

则目之在甲与在乙所受己戊弧之象实不能无大小为己戊弧等而两角之大小不等

目受物象皆以角形见交食第一卷

相近者必大远者必小也

“角既有大有小，所相当之弧不得不有大小，则辛之 距天顶，视庚之距天顶不得不远矣。”又论辛庚视差， 实为辛甲庚角所定，何用辛巳庚或甲己乙角乎？曰： “甲乙线与甲庚线无比例。”〈小大绝远故〉而甲乙与甲己则 有比例，即甲己与甲庚亦无比例也。既甲乙与甲己 同为微末，不以入算，则用辛巳庚角代辛甲庚角无 以异矣，若论角，则丁乙辛角与丁辛弧相当。〈因甲乙与乙丁 无大小之比例〉又丁乙巳角，与乙甲己及甲己乙两角并等。 〈见几何第一卷十六题〉则两角并亦与丁辛弧相当矣。今丁庚 弧既与丁甲庚角相当，则馀弧庚辛必与馀角甲己 乙或辛巳庚相当也。